Exercício 7. A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodagem é descrita por uma variável aleatória Normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km .
a) Se a Rodagem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km , qual a proporção de pneus que deverão ser trocados pela garantia?
b) O que aconteceria com a proporção do item (a), se a garantia fosse para os primeiros 45.000 km ?
c) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2 \% dos pneus?
d) Se você comprar 4 pneus Rodagem, qual será a probabilidade de que você utilizará a garantia ( 45.000 km ) para trocar um ou mais destes pneus?

Passo 1

O enunciado diz que a durabilidade X dos pneus segue uma distribuição Normal com média \mu=60000 km e desvio padrão \sigma=8300 km.
a) Queremos a proporção de pneus com X\le 48000.
b) Mesma ideia para X\le 45000.
c) Buscamos o g tal que P(X\le g)=0{,}02.
d) Comprando 4 pneus, queremos P(\text{usar garantia em >=1 pneu}).

Passo 2

Para o item (a), usamos
P(X\le 48000)=\Phi\!\Bigl(\frac{48000-60000}{8300}\Bigr).
Calculando
z=\frac{48000-60000}{8300}\approx -1{,}4458,
logo
P(X\le 48000)=\Phi(-1{,}4458)\approx 0{,}0745.

Passo 3

Para o item (b), procedemos igual com x=45000:
z=\frac{45000-60000}{8300}\approx -1{,}8072,
então
P(X\le 45000)=\Phi(-1{,}8072)\approx 0{,}0355.

Passo 4

No item (c), queremos g tal que
P(X\le g)=0{,}02\;\Longrightarrow\;\Phi\!\Bigl(\frac{g-60000}{8300}\Bigr)=0{,}02.
O quantil z_{0,02}\approx -2{,}0538, então
g=60000+(-2{,}0538)\times8300\approx 42907\text{ km}.

Passo 5

Para o item (d), cada pneu tem probabilidade p=0{,}0355 de cair na garantia em 45000 km. Comprando 4 pneus independentes,
P(\text{>=1 troca})=1-P(\text{nenhuma troca}) =1-(1-p)^{4} =1-(1-0{,}0355)^{4} \approx 1-0{,}9645^{4}\approx0{,}1346.

Resposta

(a) 0{,}0745 ( 7,45 %)
(b) 0{,}0355 ( 3,55 %)
(c) g\approx 42907 km
(d) 0{,}1346 ( 13,46 %)

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