Uma empresa de eletrônicos fabrica um novo tipo de capacitor. Deseja-se estimar a proporção de capacitores defeituosos na produção. Para isso, uma amostra aleatória de 100 capacitores foi testada, e 10 foram encontrados defeituosos. Com base nessas informações,
(a) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a proporção de capacitores defeituosos na população.
(b) Qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção com uma margem de erro de 2 \% e nível de confiança de 99 \%, supondo que uma estimativa prévia da proporção de interesse é \hat{p}=0,1 ?
(c) Repita o item (b), supondo que a estimativa prévia da proporção de interesse não é conhecida.
(d) compare os resultados dos itens (b) e (c).

Passo 1

O enunciado trata de estimar a proporção de capacitores defeituosos em uma população. Temos uma amostra aleatória de tamanho n=100 com x=10 defeituosos. Vamos usar:
– Para (a), o intervalo de confiança de 95\% para proporção.
– Para (b) e (c), a fórmula do tamanho de amostra necessária dado nível de confiança e margem de erro.

Passo 2

Para construir o intervalo de confiança de 95\% para a proporção, usamos o estimador \hat{p}=x/n e a distribuição normal aproximada. A fórmula é
\hat{p}\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
Aqui \hat{p}=10/100=0,1 e Z_{0,025}=1,96. A margem de erro vale
E_{95}=1,96\sqrt{\frac{0,1\,(1-0,1)}{100}} =1,96\sqrt{\frac{0,09}{100}} =1,96\times0,03 =0,0588.
Logo o intervalo é
[\,0{,}1-0{,}0588,\;0{,}1+0{,}0588\,] =[\,0{,}0412,\;0{,}1588\,].

Passo 3

Para achar o tamanho mínimo da amostra com margem de erro E=0,02 e nível de confiança 99\%, usamos
n=\frac{\hat{p}(1-\hat{p})(Z_{\alpha/2})^2}{E^2}.
Aqui \hat{p}=0,1, Z_{0,005}=2,5758 e E=0,02. Assim,
n=\frac{0,1\times0,9\times(2,5758)^2}{(0,02)^2} =\frac{0,09\times6,6356}{0,0004} =\frac{0,5972}{0,0004} =1493.
Arredondamos para cima e obtemos n=1493.

Passo 4

Se não temos estimativa prévia de \hat{p}, adotamos \hat{p}=0,5 para maximizar a variância. Logo
n=\frac{0,5\times0,5\times(2,5758)^2}{(0,02)^2} =\frac{0,25\times6,6356}{0,0004} =\frac{1,6589}{0,0004} =4146
(aproximado e arredondado para cima).

Passo 5

Comparando os itens (b) e (c), vemos que usar uma estimativa prévia \hat{p}=0,1 reduz muito o tamanho necessário (1493 versus 4146), pois a variância de \hat{p} é menor quando \hat{p} está longe de 0,5.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 95\%: [0{,}0412,\;0{,}1588]
(b) n=1493
(c) n=4146
(d) Sem estimativa prévia, o n triplica aproximadamente, pois \hat{p}=0,5 maximiza a variância.

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