Uma empresa de eletrônicos fabrica um novo tipo de capacitor. Deseja-se estimar a proporção de capacitores defeituosos na produção. Para isso, uma amostra aleatória de 100 capacitores foi testada, e 10 foram encontrados defeituosos. Com base nessas informações,
(a) Construa um intervalo de confiança de
para a proporção de capacitores defeituosos na população.
(b) Qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção com uma margem de erro de
e nível de confiança de
, supondo que uma estimativa prévia da proporção de interesse é
?
(c) Repita o item (b), supondo que a estimativa prévia da proporção de interesse não é conhecida.
(d) compare os resultados dos itens (b) e (c).
(a) Construa um intervalo de confiança de
(b) Qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção com uma margem de erro de
(c) Repita o item (b), supondo que a estimativa prévia da proporção de interesse não é conhecida.
(d) compare os resultados dos itens (b) e (c).
Passo 1
O enunciado trata de estimar a proporção de capacitores defeituosos em uma população. Temos uma amostra aleatória de tamanho
com
defeituosos. Vamos usar:
– Para (a), o intervalo de confiança de para proporção.
– Para (b) e (c), a fórmula do tamanho de amostra necessária dado nível de confiança e margem de erro.
– Para (a), o intervalo de confiança de
– Para (b) e (c), a fórmula do tamanho de amostra necessária dado nível de confiança e margem de erro.
Passo 2
Para construir o intervalo de confiança de
para a proporção, usamos o estimador
e a distribuição normal aproximada. A fórmula é
Aqui
e
. A margem de erro vale
Logo o intervalo é
Passo 3
Para achar o tamanho mínimo da amostra com margem de erro
e nível de confiança
, usamos
Aqui
,
e
. Assim,
Arredondamos para cima e obtemos
.
Passo 4
Se não temos estimativa prévia de
, adotamos
para maximizar a variância. Logo
(aproximado e arredondado para cima).
Passo 5
Comparando os itens (b) e (c), vemos que usar uma estimativa prévia
reduz muito o tamanho necessário (1493 versus 4146), pois a variância de
é menor quando
está longe de
.
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
:
(b)
(c)
(d) Sem estimativa prévia, o triplica aproximadamente, pois
maximiza a variância.
(b)
(c)
(d) Sem estimativa prévia, o