Uma empresa de software desenvolveu um novo programa para simulação de circuitos elétricos. Para avaliar a satisfação dos clientes, foi realizada uma pesquisa com 300 engenheiros elétricos que utilizaram o software. Desses, 225 afirmaram estar satisfeitos.
(a) Construa um intervalo de confiança de 90 \% para a proporção de engenheiros satisfeitos com o software.
(b) Qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção com uma margem de erro de 3 \% e nível de confiança de 95 \% ? Considere como estimativa prévia de p o valor obtido no item (a).
(c) Repita o item (b), supondo que a estimativa prévia da proporção de interesse é \hat{p}=0,5 (pior cenário).
(d) compare os resultados dos itens (b) e (c).

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma amostra de tamanho n=300 em que x=225 engenheiros se dizem satisfeitos. Queremos (a) construir um intervalo de confiança de 90\% para a proporção p, (b) calcular o tamanho mínimo de amostra para erro amostral E=0,03 e nível de confiança de 95\% usando como estimativa prévia \hat p do item (a), (c) repetir o cálculo de (b) supondo \hat p=0,5, e (d) comparar os resultados de (b) e (c). Vamos usar teoria de intervalos de confiança para proporções e fórmula de determinação de tamanho amostral.

Passo 2

Primeiro calculamos a proporção estimada
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{225}{300} = 0{,}75.

Passo 3

Para o intervalo de confiança de 90\% usamos o valor crítico z_{0{,}95}=1{,}645, pois 90\% tem cauda superior em 1 - 0{,}90 = 0{,}10 e metade disso em cada lado. O erro padrão de \hat p é
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}75\,(0{,}25)}{300}} = \sqrt{0{,}000625} =0{,}025.
Logo a margem de erro é
E_{90\%}=z_{0{,}95}\,\mathrm{SE} =1{,}645\times0{,}025 \approx0{,}0411.
Portanto o intervalo de confiança é
0{,}75 \pm 0{,}0411 \quad\Longrightarrow\quad [0{,}7089,\;0{,}7911].

Passo 4

Para determinar o tamanho de amostra necessário para margem de erro E=0{,}03 e nível de confiança de 95\% usamos a fórmula
n = \frac{z_{0{,}975}^2\,\hat p\,(1-\hat p)}{E^2}
onde z_{0{,}975}=1{,}96. Usando \hat p=0{,}75 do item (a):
n = \frac{1{,}96^2 \times 0{,}75 \times 0{,}25}{0{,}03^2} = \frac{3{,}8416 \times 0{,}1875}{0{,}0009} \approx 800{,}33.
Arredondando para cima, obtemos
n=801.

Passo 5

No pior cenário, usamos \hat p=0{,}5 para maximizar \hat p(1-\hat p). Assim
n = \frac{1{,}96^2 \times 0{,}5 \times 0{,}5}{0{,}03^2} = \frac{3{,}8416 \times 0{,}25}{0{,}0009} \approx1067{,}11,
e arredondando para cima chegamos a
n=1068.

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que usando a estimativa prévia \hat p=0{,}75 obtemos n=801, enquanto no pior cenário \hat p=0{,}5 precisamos de n=1068. Ou seja, assumir \hat p=0{,}5 leva a um tamanho de amostra maior, garantindo a margem de erro desejada mesmo no caso de variabilidade máxima.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 90\%: [0{,}7089,\;0{,}7911].
(b) Tamanho mínimo de amostra para E=0{,}03, 95\% de confiança e \hat p=0{,}75: n=801.
(c) Tamanho mínimo de amostra para E=0{,}03, 95\% de confiança e \hat p=0{,}5: n=1068.
(d) Usar \hat p=0{,}5 exige uma amostra maior 1068 do que usar \hat p=0{,}75 801, pois o caso \hat p=0{,}5 maximiza a variância.

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