Uma empresa de software desenvolveu um novo programa para simulação de circuitos elétricos. Para avaliar a satisfação dos clientes, foi realizada uma pesquisa com 300 engenheiros elétricos que utilizaram o software. Desses, 225 afirmaram estar satisfeitos.
(a) Construa um intervalo de confiança de
para a proporção de engenheiros satisfeitos com o software.
(b) Qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção com uma margem de erro de
e nível de confiança de
? Considere como estimativa prévia de
o valor obtido no item (a).
(c) Repita o item (b), supondo que a estimativa prévia da proporção de interesse é
(pior cenário).
(d) compare os resultados dos itens (b) e (c).
(a) Construa um intervalo de confiança de
(b) Qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção com uma margem de erro de
(c) Repita o item (b), supondo que a estimativa prévia da proporção de interesse é
(d) compare os resultados dos itens (b) e (c).
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma amostra de tamanho
em que
engenheiros se dizem satisfeitos. Queremos (a) construir um intervalo de confiança de
para a proporção
, (b) calcular o tamanho mínimo de amostra para erro amostral
e nível de confiança de
usando como estimativa prévia
do item (a), (c) repetir o cálculo de (b) supondo
, e (d) comparar os resultados de (b) e (c). Vamos usar teoria de intervalos de confiança para proporções e fórmula de determinação de tamanho amostral.
Passo 2
Primeiro calculamos a proporção estimada
Passo 3
Para o intervalo de confiança de
usamos o valor crítico
, pois
tem cauda superior em
e metade disso em cada lado. O erro padrão de
é
Logo a margem de erro é
Portanto o intervalo de confiança é
Passo 4
Para determinar o tamanho de amostra necessário para margem de erro
e nível de confiança de
usamos a fórmula
onde
. Usando
do item (a):
Arredondando para cima, obtemos
Passo 5
No pior cenário, usamos
para maximizar
. Assim
e arredondando para cima chegamos a
Passo 6
Comparando os resultados, vemos que usando a estimativa prévia
obtemos
, enquanto no pior cenário
precisamos de
. Ou seja, assumir
leva a um tamanho de amostra maior, garantindo a margem de erro desejada mesmo no caso de variabilidade máxima.
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
:
.
(b) Tamanho mínimo de amostra para ,
de confiança e
:
.
(c) Tamanho mínimo de amostra para ,
de confiança e
:
.
(d) Usar exige uma amostra maior
do que usar
, pois o caso
maximiza a variância.
(b) Tamanho mínimo de amostra para
(c) Tamanho mínimo de amostra para
(d) Usar