Encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo e determine os respectivos intervalos de convergência:
c) f(x)=\frac{1}{1-x^{3}}\'

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=\frac{1}{1-x^{3}}
e seu intervalo de convergência.
O conteúdo principal aqui é a série geométrica, cuja forma canônica é
\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^{n},\quad\text{válida para }|r|<1.á

Passo 2

Para usar a fórmula da série geométrica, identificamos em f(x):
r = x^{3}.
Substituindo em
\displaystyle \frac{1}{1 - r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}
vemos que
\frac{1}{1 - x^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(x^{3}\bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}.

Passo 3

Determinamos o intervalo de convergência a partir da condição
|r|<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x^{3}\bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<1.
Em x=\pm1 os termos x^{3n} não tendem a zero ou somam uma série divergente, logo esses pontos não pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

A representação em série de potências é
\frac{1}{1 - x^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n},
convergindo para -1<x<1.

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