Resolver as seguintes integrais usando a técnica da integração por partes.
\int x \ln (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \,\ln(3x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Esse método parte da fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e é útil quando um dos fatores simplifica ao derivar e o outro é fácil de integrar.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(3x) \quad\text{e}\quad dv = x\,dx,
pois derivar \ln(3x) simplifica, e integrar x é direto.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(3x)\bigr]\,dx = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int x\,\ln(3x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \frac{x^2}{2}\,\ln(3x)\;-\;\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(3x)\;-\;\frac{1}{2}\int x\,dx.
Agora integramos o último termo:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
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\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.

Passo 5

Substituindo de volta:
\int x\,\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(3x) \;-\;\frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\int x\,\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(3x) \;-\;\frac{x^2}{4} + C.

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