De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, em cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, em cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?”
Informações dadas:
- Há
homens distintos e mulheres distintas. - A mesa é redonda: arranjos que são rotações uns dos outros contam como o mesmo arranjo.
- A condição impõe que cada homem esteja entre duas mulheres e cada mulher entre dois homens (ou seja, os gêneros devem alternar ao redor da mesa).
Passo 2
Interpretar a condição: “um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens” significa que ninguém terá um vizinho do mesmo gênero em qualquer lado. Isso só é possível se os assentos ao redor da mesa forem ocupados alternadamente por homem, mulher, homem, mulher, … com sequência M–W–M–W–M–W. Portanto a disposição de gêneros ao redor da mesa é fixa (alternada).
Passo 3
Escolher método de contagem: vamos primeiro posicionar os
homens ao redor da mesa, e depois colocar as
mulheres nos espaços entre eles. Vou usar a regra padrão para permutações circulares: o número de maneiras de dispor
pessoas distintas em volta de uma mesa (considerando rotações iguais) é
. Explicando porquê: qualquer arranjo pode ser rotacionado para coincidir com outro; para eliminar essa equivalência, “fixa-se” uma pessoa em um lugar (por exemplo, o homem
), e permutam-se os demais
livremente, dando
arranjos distintos.
Passo 4
Aplicando isso aos homens: há
homens distintos. O número de maneiras de dispor os
homens em volta da mesa, até rotação, é
Explicação concreta: fixando
em um assento, sobra ordenar
e
nos dois assentos restantes entre os homens, o que dá
opções.
Passo 5
Depois de posicionar os homens alternados, há exatamente
“vagas” entre eles (uma entre cada par de homens adjacentes) e cada vaga deve receber uma mulher (para manter a alternância). As mulheres são distintas, então o número de maneiras de distribuir as
mulheres nessas
vagas é
Explicando: escolha qual mulher vai para a primeira vaga (
opções), para a segunda (
opções) e para a última (
opção), totalizando
.
Passo 6
Como as escolhas são independentes (arranjo dos homens
arranjo das mulheres nas vagas), multiplica-se os dois resultados para obter o total:
Isso já leva em conta a identificação por rotação, porque ao fixarmos os homens usamos a contagem circular correta.
Passo 7
Comentário de verificação (para ficar mais seguro): se em vez de fixar os homens começássemos fixando uma mulher, o raciocínio simétrico também daria
. Portanto o resultado é consistente.