De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, em cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

Passo 1

O enunciado pede: “De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, em cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?”
Informações dadas:
  • 3 homens distintos e 3 mulheres distintas.
  • A mesa é redonda: arranjos que são rotações uns dos outros contam como o mesmo arranjo.
  • A condição impõe que cada homem esteja entre duas mulheres e cada mulher entre dois homens (ou seja, os gêneros devem alternar ao redor da mesa).

Passo 2

Interpretar a condição: “um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens” significa que ninguém terá um vizinho do mesmo gênero em qualquer lado. Isso só é possível se os assentos ao redor da mesa forem ocupados alternadamente por homem, mulher, homem, mulher, … com sequência M–W–M–W–M–W. Portanto a disposição de gêneros ao redor da mesa é fixa (alternada).

Passo 3

Escolher método de contagem: vamos primeiro posicionar os 3 homens ao redor da mesa, e depois colocar as 3 mulheres nos espaços entre eles. Vou usar a regra padrão para permutações circulares: o número de maneiras de dispor n pessoas distintas em volta de uma mesa (considerando rotações iguais) é (n-1)!. Explicando porquê: qualquer arranjo pode ser rotacionado para coincidir com outro; para eliminar essa equivalência, “fixa-se” uma pessoa em um lugar (por exemplo, o homem M_1), e permutam-se os demais n-1 livremente, dando (n-1)! arranjos distintos.

Passo 4

Aplicando isso aos homens: há 3 homens distintos. O número de maneiras de dispor os 3 homens em volta da mesa, até rotação, é
(3-1)! = 2! = 2.
Explicação concreta: fixando M_1 em um assento, sobra ordenar M_2 e M_3 nos dois assentos restantes entre os homens, o que dá 2 opções.

Passo 5

Depois de posicionar os homens alternados, há exatamente 3 “vagas” entre eles (uma entre cada par de homens adjacentes) e cada vaga deve receber uma mulher (para manter a alternância). As mulheres são distintas, então o número de maneiras de distribuir as 3 mulheres nessas 3 vagas é
3! = 6.
Explicando: escolha qual mulher vai para a primeira vaga ( 3 opções), para a segunda ( 2 opções) e para a última ( 1 opção), totalizando 3\cdot2\cdot1=6.

Passo 6

Como as escolhas são independentes (arranjo dos homens \times arranjo das mulheres nas vagas), multiplica-se os dois resultados para obter o total:
2 \cdot 6 = 12.
Isso já leva em conta a identificação por rotação, porque ao fixarmos os homens usamos a contagem circular correta.

Passo 7

Comentário de verificação (para ficar mais seguro): se em vez de fixar os homens começássemos fixando uma mulher, o raciocínio simétrico também daria (3-1)!\cdot 3! = 12. Portanto o resultado é consistente.

Resposta

12

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