Um estudo ácompanhou a ingestão de calorias diárias para uma amostra de adolescentes que afirmaram comer fast-food frequentemente e outra amostra de adolescentes que disseram que não costumam comer fast-food.
fast-food tamanho amostral média amostral desvio padrão amostral
c|c|c|c fast-food & tamanho amostral & média amostral & desvio padrão amostral hline $sim$ & 413 & 2637 & 1138 não & 663 & 2258 & 1519 413 2637 1138
não 663 2258 1519
Encontre um intervalo de 95 % de confiança para a diferença de ingestão calória média entre os adolescentes que costumam comer fast-food e os adolescentes que não tem esse hábito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um estudo que compare a ingestão de calorias diárias entre dois grupos de adolescentes: um grupo que come fast-food com frequência e outro que não costuma comer fast-food. Queremos descobrir a diferença na média de calorias consumidas entre esses dois grupos, com 95% de confiança. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança para a diferença entre duas médias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Grupo que come fast-food:
    • Tamanho da amostra ( n1): 413
    • Média amostral ( barX1): 2637 calorias
    • Desvio padrão amostral ( s1): 1138 calorias
  • Grupo que não come fast-food:
    • Tamanho da amostra ( n2): 663
    • Média amostral ( barX2): 2258 calorias
    • Desvio padrão amostral ( s2): 1519 calorias
Para encontrar o intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias, vamos seguir os passos abaixo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a diferença entre as médias amostrais:
Diferença das médias = barX1 - barX2 = 2637 - 2258 = 379 calorias çé

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da diferença das médias. O erro padrão nos dá uma ideia de quanta variação esperamos na diferença das médias se repetirmos o estudo várias vezes. A fórmula para o erro padrão da diferença é:
SE = raiz( s1^2n1 ) + ( s2^2n2 )
Vamos calcular cada parte:
s1^2n1 = 1138^2413 = 1,296,,, 944413 approx 3140.55
s2^2n2 = 1519^2663 = 2, 306, 561663 approx 3,474.64
Agora, somamos essas duas partes e tiramos a raiz quadrada:
SE = raiz3140.55 + 3474.64 = raiz6615.19 approx 81.35

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para um intervalo de confiança de 95%. Como nossas amostras são grandes ( n1 = 413 e n2 = 663), podemos usar a distribuição normal para encontrar o valor crítico ( Z). Para 95% de confiança, o valor crítico Z é aproximadamente 1.96.

Passo 6

Com o erro padrão e o valor crítico, podemos calcular a margem de erro:
Mar>=m de Erro = Z times SE = 1.96 times 81.35 approx 159.43

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à diferença das médias:
Intervalo de Confiança = (Diferença das médias - Mar>=m de Erro, Diferença das médias + Mar>=m de Erro) ççéçé
Intervalo de Confiança = (379 - 159.43, 379 + 159.43) = (219.57, 538.43) ç

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença na ingestão calórica média entre os adolescentes que comem fast-food e os que não comem é de aproximadamente 219,57 a 538,43 calorias.

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