Uma empresa estudo o tempo perdido por accidente (TPA) que ocorrem em sua planta industrial, os registros mostram que
dos empregados sofreram TPA no ano passado. A gerencia acredita que um programa de segurança reduzirá esse tempo para
durante o ano atual. Além disso estimase que o
dos que sofrem TPA o ano passado voltarão a sofrê-lo no ano atual.
a) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente ambos anos?
b) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em ambos anos?.
a) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente ambos anos?
b) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em ambos anos?.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas.
Informações dadas:
- A porcentagem dos empregados que sofreram TPA no ano passado é
(ou seja, ). - A gerência espera que a porcentagem que sofrerá TPA no ano atual seja
(ou seja, ). - Estima-se que
dos que sofreram TPA no ano passado sofrerão novamente no ano atual. Em notação decimal isso é e essa probabilidade é condicional: é a probabilidade de sofrer TPA neste ano dado que sofreu no ano passado.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente em ambos os anos?
b) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em (pelo menos) um dos dois anos?
a) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente em ambos os anos?
b) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em (pelo menos) um dos dois anos?
Passo 2
Definimos eventos para ficar claro e operar com probabilidades:
- Seja
o evento “empregado sofreu TPA no ano passado”. - Seja
o evento “empregado sofrerá TPA no ano atual”.
As probabilidades fornecidas ficam:
Explicação do que é
: é a probabilidade de ocorrer
(sofrer TPA este ano) considerando apenas o subconjunto de empregados que já sofreram
(no ano passado). Em palavras: entre quem teve TPA no ano passado,
vão ter de novo este ano.
Passo 3
Para responder (a) precisamos da probabilidade conjunta
, que é a probabilidade de um empregado ter sofrido TPA no ano passado e também neste ano.
Usamos a regra da probabilidade condicional:
Aqui a fórmula significa: a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem é a probabilidade do primeiro vezes a probabilidade do segundo ocorrer dado que o primeiro já aconteceu. Essa é uma fórmula básica e muito usada em provas e aplicações.
Passo 4
Agora calculamos numericamente
:
Façamos a conta passo a passo:
Convertendo em porcentagem multiplicamos por
:
.
Portanto, a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente em ambos os anos é
.
Passo 5
Para responder (b) queremos a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em um dos dois anos, isto é, a probabilidade do evento
(ocorreu no ano passado OU no ano atual, ou em ambos).
Usamos a fórmula da união de dois eventos (princípio da inclusão-exclusão):
Explicação: somamos as probabilidades individuais, mas subtraímos a interseção porque ela foi contada duas vezes ao somar
.
Passo 6
Agora substituímos os números conhecidos:
Fazendo a conta:
. Então
Convertendo em porcentagem:
Portanto, a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em algum dos dois anos é
.
Passo 7
Resumo rápido da intuição: só
vão ter TPA em ambos os anos (porque são
do grupo inicial e apenas
desse grupo repete este ano). Somando quem teve ano passado e quem terá este ano sem duplicar os que aparecem em ambos os conjuntos dá
de funcionários que terão TPA em pelo menos um dos anos. Força aí — isso é exatamente o que você precisa saber aplicar numa prova: calcular interseção com
e união com
.
Resposta
(a)
(b)
(b)