Uma empresa estudo o tempo perdido por accidente (TPA) que ocorrem em sua planta industrial, os registros mostram que 6 \% dos empregados sofreram TPA no ano passado. A gerencia acredita que um programa de segurança reduzirá esse tempo para 5 \% durante o ano atual. Além disso estimase que o 15 \% dos que sofrem TPA o ano passado voltarão a sofrê-lo no ano atual.
a) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente ambos anos?
b) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em ambos anos?.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas.
Informações dadas:
  • A porcentagem dos empregados que sofreram TPA no ano passado é \,0{,}06 (ou seja, 6\%).
  • A gerência espera que a porcentagem que sofrerá TPA no ano atual seja \,0{,}05 (ou seja, 5\%).
  • Estima-se que 15\% dos que sofreram TPA no ano passado sofrerão novamente no ano atual. Em notação decimal isso é \,0{,}15 e essa probabilidade é condicional: é a probabilidade de sofrer TPA neste ano dado que sofreu no ano passado.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente em ambos os anos?
b) Qual é a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em (pelo menos) um dos dois anos?

Passo 2

Definimos eventos para ficar claro e operar com probabilidades:
  • Seja L o evento “empregado sofreu TPA no ano passado”.
  • Seja T o evento “empregado sofrerá TPA no ano atual”.
As probabilidades fornecidas ficam:
P(L)=0{,}06,\qquad P(T)=0{,}05,\qquad P(T\mid L)=0{,}15.
Explicação do que é P(T\mid L): é a probabilidade de ocorrer T (sofrer TPA este ano) considerando apenas o subconjunto de empregados que já sofreram L (no ano passado). Em palavras: entre quem teve TPA no ano passado, 15\% vão ter de novo este ano.

Passo 3

Para responder (a) precisamos da probabilidade conjunta P(L\cap T), que é a probabilidade de um empregado ter sofrido TPA no ano passado e também neste ano.
Usamos a regra da probabilidade condicional:
P(L\cap T)=P(L)\cdot P(T\mid L).
Aqui a fórmula significa: a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem é a probabilidade do primeiro vezes a probabilidade do segundo ocorrer dado que o primeiro já aconteceu. Essa é uma fórmula básica e muito usada em provas e aplicações.

Passo 4

Agora calculamos numericamente P(L\cap T):
P(L\cap T)=0{,}06\times 0{,}15.
Façamos a conta passo a passo: 0{,}06\times 0{,}15=(6\times 10^{-2})\times(15\times 10^{-2})=(6\times 15)\times 10^{-4}=90\times 10^{-4}=9\times 10^{-3}=0{,}009.
Convertendo em porcentagem multiplicamos por 100\%: 0{,}009\times 100\%=0{,}9\%.
Portanto, a porcentagem dos empregados que sofrerá acidente em ambos os anos é \,0{,}9\%.

Passo 5

Para responder (b) queremos a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em um dos dois anos, isto é, a probabilidade do evento L\cup T (ocorreu no ano passado OU no ano atual, ou em ambos).
Usamos a fórmula da união de dois eventos (princípio da inclusão-exclusão):
P(L\cup T)=P(L)+P(T)-P(L\cap T).
Explicação: somamos as probabilidades individuais, mas subtraímos a interseção porque ela foi contada duas vezes ao somar P(L)+P(T).

Passo 6

Agora substituímos os números conhecidos:
P(L\cup T)=0{,}06+0{,}05-0{,}009.
Fazendo a conta: 0{,}06+0{,}05=0{,}11. Então 0{,}11-0{,}009=0{,}101.
Convertendo em porcentagem: 0{,}101\times 100\%=10{,}1\%.
Portanto, a porcentagem dos empregados que sofrerá pelo menos um TPA em algum dos dois anos é \,10{,}1\%.

Passo 7

Resumo rápido da intuição: só \,0{,}9\% vão ter TPA em ambos os anos (porque são 6\% do grupo inicial e apenas 15\% desse grupo repete este ano). Somando quem teve ano passado e quem terá este ano sem duplicar os que aparecem em ambos os conjuntos dá \,10{,}1\% de funcionários que terão TPA em pelo menos um dos anos. Força aí — isso é exatamente o que você precisa saber aplicar numa prova: calcular interseção com P(A\cap B)=P(A)P(B|A) e união com P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Resposta

(a) 0{,}9\%
(b) 10{,}1\%

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