1. Uma moeda é lançada sucessivamente de modo independente, até que ocorre a primeira cara. Seja X a v.a. que conta o número de lançamentos anteriores á ocorrencia de cara, e Y a v.a. de número de lançamentos anteriores á ocorrencia da primeira cara.
    (i) Determine a f.d.p de cada X e Y ,

Passo 1

O enunciado: uma moeda é lançada sucessivamente e de forma independente até ocorrer a primeira cara. Temos duas variáveis aleatórias:
  • X: número de lançamentos anteriores à ocorrência da cara (ou seja, conta quantos lançamentos saíram antes do primeiro “cara”). Logo X pode ser 0,1,2,\dots.
  • Y: número de lançamentos até (e incluindo) a ocorrência da primeira cara. Logo Y pode ser 1,2,3,\dots.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os lançamentos são independentes.
  • A moeda é justa (presumo moeda justa; se não foi dito, normalmente usamos P(\text{cara})=P(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}). Vou usar P(\text{cara})=\tfrac{1}{2} e P(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}.
O que nos pediram:
  • (i) determinar a f.d.p. (função de probabilidade, isto é, a pmf) de X e de Y.

Passo 2

Conceito útil (rápida explicação): para uma variável aleatória discreta Z, a f.d.p. é a função p_Z tal que p_Z(z)=P(Z=z). Para calcular P(Z=z) em sequências de lançamentos independentes usamos que a probabilidade de uma sequência é o produto das probabilidades de cada lançamento.
Agora raciocinemos para X. Se X=k (com k\in\{0,1,2,\dots\}), isso significa que nos primeiros k lançamentos não saiu cara (isto é, saíram coroas) e no lançamento seguinte saiu a primeira cara. Portanto o evento \{X=k\} é: “primeiros k são coroa, e o (k+1)-ésimo é cara”.
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade desse evento é o produto das probabilidades:
P(X=k)=P(\underbrace{\text{coroa},\dots,\text{coroa}}_{k\\ \text{vezes}})\cdot P(\text{cara})
Usando P(\text{coroa})=\tfrac{1}{2} e P(\text{cara})=\tfrac{1}{2}, obtemos
P(X=k)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^k\cdot \tfrac{1}{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k+1}.
Demonstração com exemplos pequenos (para fixar):
  • P(X=0)=P(\text{cara no 1º lançamento})=\tfrac{1}{2}ºç.
  • P(X=1)=P(\text{coroa, depois cara})=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
  • P(X=2)=P(\text{coroa,coroa,cara})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
    Isso bate com a fórmula geral P(X=k)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k+1}.

Passo 3

Agora Y. Note uma relação simples entre X e Y: como X conta quantas tentativas ocorreram antes da primeira cara, e Y conta quantas tentativas ocorreram até incluir a primeira cara, temos
Y=X+1.
Usando essa relação ou raciocinando diretamente: se Y=n (com n\in\{1,2,3,\dots\}), então os primeiros n-1 lançamentos foram coroa e o n-ésimo foi cara. Pela independência,
P(Y=n)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}\cdot \tfrac{1}{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
Podemos também obter P(Y=n) a partir de X usando X=n-1:
P(Y=n)=P(X=n-1)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{(n-1)+1}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,
o que confirma a fórmula acima.

Passo 4

Verificação rápida que são distribuições válidas (ensino rápido sobre séries geométricas): devemos ter soma das probabilidades igual a 1.
Para X:
\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k+1}=\tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^k.
A soma geométrica \sum_{k=0}^{\infty} r^k=\dfrac{1}{1-r} para |r|<1. Tomando r=\tfrac{1}{2} temos \sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^k=2. Logo
\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k)=\tfrac{1}{2}\cdot 2=1.
Para Y:
\sum_{n=1}^{\infty} P(Y=n)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,
que é igual a \sum_{m=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{m+1}=\tfrac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^m=1 pelo mesmo cálculo. Portanto ambas são distribuições válidas.

Passo 5

Resumo didático final (interpretando as fórmulas): ambas as variáveis seguem a distribuição geométrica com parâmetro p=\tfrac{1}{2}, em duas convenções diferentes:
  • X usa a convenção “conta falhas antes do primeiro sucesso” (suporte 0,1,2,\dots),
  • Y usa a convenção “conta ensaios até o primeiro sucesso” (suporte 1,2,3,\dots).

Resposta

P(X=k)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k+1},\quad k=0,1,2,\dots\n
P(Y=n)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},\quad n=1,2,3,\dots

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