Uma moeda é lançada sucessivamente de modo independente, até que ocorre a primeira cara. Seja X a v.a. que conta o número de lançamentos anteriores á ocorrencia de cara, e Y a v.a. de número de lançamentos anteriores á ocorrencia da primeira cara.
(i) Determine a f.d.p de cada X e Y ,
Passo 1
O enunciado: uma moeda é lançada sucessivamente e de forma independente até ocorrer a primeira cara. Temos duas variáveis aleatórias:
X: número de lançamentos anteriores à ocorrência da cara (ou seja, conta quantos lançamentos saíram antes do primeiro “cara”). Logo X pode ser 0,1,2,\dots.
Y: número de lançamentos até (e incluindo) a ocorrência da primeira cara. Logo Y pode ser 1,2,3,\dots.
Informações dadas que vamos usar:
Os lançamentos são independentes.
A moeda é justa (presumo moeda justa; se não foi dito, normalmente usamos P(\text{cara})=P(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}). Vou usar P(\text{cara})=\tfrac{1}{2} e P(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}.
O que nos pediram:
(i) determinar a f.d.p. (função de probabilidade, isto é, a pmf) de X e de Y.
Passo 2
Conceito útil (rápida explicação): para uma variável aleatória discreta Z, a f.d.p. é a função p_Z tal que p_Z(z)=P(Z=z). Para calcular P(Z=z) em sequências de lançamentos independentes usamos que a probabilidade de uma sequência é o produto das probabilidades de cada lançamento.
Agora raciocinemos para X. Se X=k (com k\in\{0,1,2,\dots\}), isso significa que nos primeiros k lançamentos não saiu cara (isto é, saíram coroas) e no lançamento seguinte saiu a primeira cara. Portanto o evento \{X=k\} é: “primeiros k são coroa, e o (k+1)-ésimo é cara”.
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade desse evento é o produto das probabilidades:
P(X=0)=P(\text{cara no 1º lançamento})=\tfrac{1}{2}ºç.
P(X=1)=P(\text{coroa, depois cara})=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
P(X=2)=P(\text{coroa,coroa,cara})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
Isso bate com a fórmula geral P(X=k)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k+1}.
Passo 3
Agora Y. Note uma relação simples entre X e Y: como X conta quantas tentativas ocorreram antes da primeira cara, e Y conta quantas tentativas ocorreram até incluir a primeira cara, temos
Y=X+1.
Usando essa relação ou raciocinando diretamente: se Y=n (com n\in\{1,2,3,\dots\}), então os primeiros n-1 lançamentos foram coroa e o n-ésimo foi cara. Pela independência,
A soma geométrica \sum_{k=0}^{\infty} r^k=\dfrac{1}{1-r} para |r|<1. Tomando r=\tfrac{1}{2} temos \sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^k=2. Logo
que é igual a \sum_{m=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{m+1}=\tfrac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^m=1 pelo mesmo cálculo. Portanto ambas são distribuições válidas.
Passo 5
Resumo didático final (interpretando as fórmulas): ambas as variáveis seguem a distribuição geométrica com parâmetro p=\tfrac{1}{2}, em duas convenções diferentes:
X usa a convenção “conta falhas antes do primeiro sucesso” (suporte 0,1,2,\dots),
Y usa a convenção “conta ensaios até o primeiro sucesso” (suporte 1,2,3,\dots).