Questão 1. O tempo de vida de um laser semicondutor tem uma distribuição exponencial e é sabido que a média do tempo de vida é 10.000 horas.
a) Calcule os parâmetros da distribuição exponencial (dica: utilize as expressões para \mathrm{E}(\mathrm{X}) )
b) Determine a probabilidade de um tempo de vida exceder 10.000 horas.
c) Em uma amostra de 20 lasers, determine a probabilidade de o tempo médio de vida exceder 10.000 horas.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida X de um laser segue distribuição Exponencial com média \mathrm{E}(X)=10000 horas. Precisamos:
  1. Encontrar o parâmetro de taxa \lambda.
  2. Calcular \Pr(X>10000).
  3. Para uma amostra de tamanho n=20, achar \Pr\bigl(\bar X>10000\bigr), onde \bar X é a média amostral.

Passo 2

Para uma variável Exponencial com parâmetro de taxa \lambda vale
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{\lambda}.
Como \mathrm{E}(X)=10000, temos
\lambda=\frac{1}{10000}.

Passo 3

A probabilidade de exceder um determinado tempo x na Exponencial é
\Pr(X>x)=e^{-\lambda x}.
Para x=10000 e \lambda=1/10000,
\Pr(X>10000) = e^{-(1/10000)\cdot10000} = e^{-1}.

Passo 4

Se \{X_i\}_{i=1}^{20} são independentes e Exponenciais \bigl(\lambda\bigr), então
S = \sum_{i=1}^{20}X_i
segue distribuição Gama com forma k=20 e taxa \lambda. A média amostral é \bar X = S/20. Então
\Pr\bigl(\bar X>10000\bigr) = \Pr\bigl(S>20\cdot10000\bigr) = \Pr\bigl(S>200000\bigr).
Para S\sim\mathrm{Gamma}(k=20,\lambda=1/10000) vale
\Pr(S>200000) =1 - F_S(200000) =1 - \frac{\gamma\bigl(20,\,(1/10000)\,200000\bigr)}{\Gamma(20)}.
Como (1/10000)\,200000=20 e \gamma(k,z)/\Gamma(k)=\sum_{j=0}^{k-1}e^{-z}z^j/j!, temos
\Pr\bigl(\bar X>10000\bigr) =1 - \sum_{j=0}^{19} e^{-20}\,\frac{20^j}{j!}.

Resposta

a) \displaystyle \lambda=\frac{1}{10000}.
b) \displaystyle \Pr(X>10000)=e^{-1}.
c) \displaystyle \Pr\bigl(\bar X>10000\bigr) =1 - \sum_{j=0}^{19} e^{-20}\,\frac{20^j}{j!}.

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