Uma empresa fabrica um dispositivo eletrônico para ser usado em uma faixa de temperatura muito ampla. A empresa sabe que o aumento da temperatura reduz a vida útil do dispositivo. Foi realiza um estudo no qual a vida útil é determinada em função da temperatura. Os seguintes dados foram encontrados:
Temperatura em Celsius (t) 1020304050607080
Vida útil em horas (y) 4203652852201761409678
Qual o valor-p do teste de hipóteses Ho: \alpha^{*}=400 ; \mathrm{H} 1: \alpha^{*} \neq 400, do modelo de regressão linear y=\alpha^{*}+\beta^{*} t ?

Passo 1

O enunciado dá um modelo de regressão linear simples
y = \alpha^{*} + \beta^{*}t
com n=8 observações de temperatura t (em \circC) e vida útil y (em horas):
t: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 y: 420, 365, 285, 220, 176, 140, 96, 78
Queremos testar
H_{0}\colon \alpha^{*}=400 \quad\text{vs.}\quad H_{1}\colon \alpha^{*}\neq 400
e encontrar o valor- p.

Passo 2

Calculamos primeiro os estimadores de mínimos quadrados. Usando
\hat\beta =\frac{n\sum t_i y_i - \sum t_i\,\sum y_i} {n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2},
\hat\alpha =\bar y - \hat\beta\,\bar t,
com \bar t = \tfrac1n\sum t_i e \bar y=\tfrac1n\sum y_i.
Dos cálculos (mostrados em análise) obtém-se
\hat\beta \approx -5{,}0179, \quad \hat\alpha \approx 448{,}3036.

Passo 3

Para o teste precisamos do erro padrão de \hat\alpha. Primeiro a soma de quadrados dos resíduos
\text{SSE}=\sum_{i=1}^n\bigl(y_i-(\hat\alpha+\hat\beta\,t_i)\bigr)^2\approx 3175{,}12,
o estimador da variância residual
s^2=\frac{\text{SSE}}{n-2}\approx\frac{3175{,}12}{6}\approx529{,}19,
e a variância de \hat\alpha:
\mathrm{Var}(\hat\alpha) =s^2\Bigl(\frac1n + \frac{\bar t^{2}}{\sum (t_i-\bar t)^2}\Bigr) \approx 321{,}29,
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\mathrm{SE}(\hat\alpha) =\sqrt{321{,}29}\approx17{,}93.

Passo 4

O estatístico de teste é
t_0 =\frac{\hat\alpha-400}{\mathrm{SE}(\hat\alpha)} =\frac{448{,}3036-400}{17{,}93} \approx2{,}695.
Com df=n-2=6, o valor- p bilateral é
p = 2\,P\bigl(T_{6}>2{,}695\bigr)\approx0{,}04.

Resposta

O valor- p do teste é aproximadamente 0{,}04.

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