Uma empresa fabrica x peças por dia, e seu lucro em reais é dado pela função \mathrm{L}(\mathrm{x})=100(9-\mathrm{x})(\mathrm{x}-1). O lucro máximo obtido pela empresa, por dia, em reais, é
(A) 1200
(B) 1300
(C) 1400
(D) 1500
(E) 1600

Passo 1

O enunciado diz que a empresa fabrica x peças por dia e que o lucro, em reais, é dado por
L(x) = 100\,(9 - x)\,(x - 1).
Queremos encontrar o valor máximo de L(x) em relação a x. O conteúdo usado aqui é otimização de função polinomial de segundo grau (parábola).

Passo 2

Vamos reescrever L(x) de forma expandida para identificar os coeficientes da parábola.
L(x) = 100\,(9 - x)\,(x - 1) = 100\bigl(-x^2 +10x -9\bigr) = -100\,x^2 +1000\,x -900.

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 é -100, a parábola abre para baixo e, portanto, tem um valor máximo em seu vértice. A abscissa do vértice de uma parábola ax^2+bx+c é dada por
x_v = -\frac{b}{2a}.
Aqui, a = -100 e b = 1000, logo
x_v = -\frac{1000}{2 \cdot (-100)} = \frac{1000}{200} = 5.

Passo 4

Agora, calculamos o lucro máximo substituindo x_v = 5 em L(x). É mais direto usar a forma fatorada:
L(5) = 100\,(9 - 5)\,(5 - 1) = 100 \times 4 \times 4 = 1600.

Passo 5

Verificando as alternativas, o valor 1600 corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) 1600

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