Uma empresa que fabrica pneus para carros de passeio está testando uma nova tecnologia para aumentar o tempo de vida útil dos pneus da referência A. Uma amostra de 25 pneus da referência em questão, fabricados com a nova tecnologia, forneceu um tempo de vida útil médio de 35.000 km , com desvio padrão de 2.500 km . Assuma que o tempo de vida dos pneus em questão segue uma distribuição normal. Assuma que uma nova amostra de 37 pneus forneceu um tempo de vida médio de 35.500 km com desvio padrão de 2.500 km , um intervalo de confiança para a média resultou: 35.500 km pm 693,63 km, com que confiança foi calculado esse intervalo?

Passo 1

Beleza! A gente tem uma empresa que tá testando uma nova tecnologia pra aumentar a durabilidade dos pneus modelo A. Eles fizeram dois testes: o primeiro com 25 pneus, média de vida útil de 35.000 km e desvio padrão de 2.500 km. O segundo teste usou 37 pneus, com média de 35.500 km e o mesmo desvio padrão de 2.500 km. A gente sabe que a vida útil dos pneus segue uma distribuição normal. No segundo teste, foi calculado um intervalo de confiança para a média de 35.500 pm 693,63 km. A pergunta é: com que nível de confiança esse intervalo foi calculado? Ou seja, qual é a probabilidade de que esse intervalo contenha a verdadeira média de vida útil dos pneus?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele dá uma faixa na qual a gente acredita que a média verdadeira está, com uma certa confiança. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é:
barx pm z ( sraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral,
  • z é o valor crítico que depende do nível de confiança,
  • s é o desvio padrão da amostra,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

No nosso caso, já temos a média amostral barx = 35.500 km, o desvio padrão s = 2.500 km, o tamanho da amostra n = 37 e o intervalo de confiança 35.500 pm 693,63 km. Nosso objetivo é descobrir o valor de z, que nos ajudará a identificar o nível de confiança.

Passo 4

Vamos isolar o valor de z na fórmula. Sabemos que a margem de erro é 693,63 km. Então:
693,63 = z ( 2.500raiz37 )
Vamos resolver para z:
z = 693,63 times raiz372.500

Passo 5

Calculando isso:
Primeiro, calculamos raiz37:
raiz37 approx 6,08276
Agora, multiplicamos por 693,63:
693,63 times 6,08276 approx 4.214,42
E dividimos por 2.500:
z = 4.214,422.500 approx 1,6858

Passo 6

Com o valor de z approx 1,6858, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse z-score. Isso nos dará o nível de confiança.
Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora de distribuição normal, vemos que:
P(Z <= 1,6858) approx 0,9549
Isso significa que a área sob a curva até z = 1,6858 é de aproximadamente 95,49%.

Passo 7

Como o intervalo de confiança é simétrico em torno da média, o nível de confiança é:
2 times 0,9549 - 1 = 0,9098 ou 90,98%
Arredondando, podemos dizer que o intervalo foi calculado com aproximadamente 91% de confiança.

Resposta

O intervalo de confiança foi calculado com aproximadamente 91% de confiança.

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