Uma empresa que fabrica pneus para carros de passeio está testando uma nova tecnologia para aumentar o tempo de vida útil dos pneus da referência A. Uma amostra de 25 pneus da referência em questão, fabricados com a nova tecnologia, forneceu um tempo de vida útil médio de 35.000 km , com desvio padrão de 2.500 km . Assuma que o tempo de vida dos pneus em questão segue uma distribuição normal. Assuma que uma nova amostra de 37 pneus forneceu um tempo de vida médio de 35.500 km com desvio padrão de 2.500 km , um intervalo de confiança para a média resultou:
, com que confiança foi calculado esse intervalo?
Passo 1
Beleza! A gente tem uma empresa que tá testando uma nova tecnologia pra aumentar a durabilidade dos pneus modelo A. Eles fizeram dois testes: o primeiro com 25 pneus, média de vida útil de 35.000 km e desvio padrão de 2.500 km. O segundo teste usou 37 pneus, com média de 35.500 km e o mesmo desvio padrão de 2.500 km. A gente sabe que a vida útil dos pneus segue uma distribuição normal. No segundo teste, foi calculado um intervalo de confiança para a média de
km. A pergunta é: com que nível de confiança esse intervalo foi calculado? Ou seja, qual é a probabilidade de que esse intervalo contenha a verdadeira média de vida útil dos pneus?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele dá uma faixa na qual a gente acredita que a média verdadeira está, com uma certa confiança. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é:
Onde:
-
é a média amostral, -
é o valor crítico que depende do nível de confiança, -
é o desvio padrão da amostra, -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
No nosso caso, já temos a média amostral
km, o desvio padrão
km, o tamanho da amostra
e o intervalo de confiança
km. Nosso objetivo é descobrir o valor de
, que nos ajudará a identificar o nível de confiança.
Passo 4
Vamos isolar o valor de
na fórmula. Sabemos que a margem de erro é
km. Então:
Vamos resolver para
:
Passo 5
Calculando isso:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos por 693,63:
E dividimos por 2.500:
Passo 6
Com o valor de
, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse z-score. Isso nos dará o nível de confiança.
Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora de distribuição normal, vemos que:
Isso significa que a área sob a curva até
é de aproximadamente 95,49%.
Passo 7
Como o intervalo de confiança é simétrico em torno da média, o nível de confiança é:
Arredondando, podemos dizer que o intervalo foi calculado com aproximadamente 91% de confiança.
Resposta
O intervalo de confiança foi calculado com aproximadamente 91% de confiança.