Suponha que estamos interessados em estimar a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a consumir um novo produto de limpeza. Se uma amostra de 120 clientes forneceu 80 indivíduos que aceitariam comprar o novo produto, determine: O intervalo de confiança para a proporção de clientes do supermercado em questão dispostos a comprar o novo produto, com coeficiente de confiança de 95%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma situação onde queremos descobrir qual a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a comprar um novo produto de limpeza. Para isso, vamos usar uma amostra de 120 clientes, dos quais 80 disseram que comprariam o produto. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Intervalo de Confiança para uma Proporção. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a proporção amostral, o erro padrão e usar a distribuição normal para encontrar nosso intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral. Isso é simplesmente a fração de clientes na nossa amostra que disseram que comprariam o produto. A fórmula é:
p = número de clientes que comprariamtamanho da amostra = 80120 ú
Fazendo a conta:
p = 80120 = 23 approx 0,6667
Então, a proporção amostral é aproximadamente 66,67%.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nível de confiança de 95%. Esse valor nos ajuda a saber quantos desvios padrões vamos considerar para construir nosso intervalo. Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico $ z $ da distribuição normal padrão é aproximadamente 1,96. Esse número vem da tabela da distribuição normal e representa a distância em desvios padrões que cobrirá 95% da distribuição central.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quão variável nossa estimativa da proporção pode ser se repetirmos a amostra várias vezes. A fórmula do erro padrão $ EP $ é:
EP
Calculando:
EP = raizp(1 - p)n = raiz0,6667 times (1 - 0,6667)120
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,043.

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro. A margem de erro é o produto do valor crítico $ z $ pelo erro padrão:
z
Portanto, a margem de erro é aproximadamente 0,0843, ou 8,43%.

Passo 6

Finalmente, vamos construir o intervalo de confiança para a proporção. Para isso, adicionamos e subtraímos a margem de erro da proporção amostral:
Intervalo de Confiança = p pm Mar>=m de Erro = 0,6667 pm 0,0843 ç
Isso dá:
0,6667 - 0,0843 = 0,5824 0,6667 + 0,0843 = 0,751
Então, o intervalo de confiança vai de aproximadamente 58,24% a 75,1%.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de clientes dispostos a comprar o novo produto é entre 58,2% e 75,1%.

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