Suponha que estamos interessados em estimar a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a consumir um novo produto de limpeza. Se uma amostra de 120 clientes forneceu 80 indivíduos que aceitariam comprar o novo produto, determine: O intervalo de confiança para a proporção de clientes do supermercado em questão dispostos a comprar o novo produto, com coeficiente de confiança de 95%.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma situação onde queremos descobrir qual a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a comprar um novo produto de limpeza. Para isso, vamos usar uma amostra de 120 clientes, dos quais 80 disseram que comprariam o produto. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Intervalo de Confiança para uma Proporção. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a proporção amostral, o erro padrão e usar a distribuição normal para encontrar nosso intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção amostral. Isso é simplesmente a fração de clientes na nossa amostra que disseram que comprariam o produto. A fórmula é:
Fazendo a conta:
Então, a proporção amostral é aproximadamente 66,67%.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nível de confiança de 95%. Esse valor nos ajuda a saber quantos desvios padrões vamos considerar para construir nosso intervalo. Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico $ z $ da distribuição normal padrão é aproximadamente 1,96. Esse número vem da tabela da distribuição normal e representa a distância em desvios padrões que cobrirá 95% da distribuição central.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quão variável nossa estimativa da proporção pode ser se repetirmos a amostra várias vezes. A fórmula do erro padrão $ EP $ é:
Calculando:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,043.
Passo 5
Agora, vamos calcular a margem de erro. A margem de erro é o produto do valor crítico $ z $ pelo erro padrão:
Portanto, a margem de erro é aproximadamente 0,0843, ou 8,43%.
Passo 6
Finalmente, vamos construir o intervalo de confiança para a proporção. Para isso, adicionamos e subtraímos a margem de erro da proporção amostral:
Isso dá:
Então, o intervalo de confiança vai de aproximadamente 58,24% a 75,1%.
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a proporção de clientes dispostos a comprar o novo produto é entre 58,2% e 75,1%.