lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
\Omega é espaço amostral, A é \sigma-álgebra de eventos e p probailidade
Prove as leis de DeMorgan

Passo 1

O enunciado dá o espaço amostral \Omega, uma \sigma-álgebra de eventos \mathcal{A} e uma probabilidade p. Pede para provar as leis de De Morgan. Vou assumir que temos uma família contável de eventos (A_n)_{n\in\mathbb{N}} com A_n\in\mathcal{A} para todo n. As igualdades que precisamos demonstrar são:
\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c
e
\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \Omega é espaço amostral, \mathcal{A} é \sigma-álgebra (logo fechada por complementos e uniões contáveis) e p é uma probabilidade (a existência de p não é necessária para provar De Morgan, mas mostra o contexto probabilístico). A resolução vai usar a definição de complemento, união e interseção e raciocínio elemento a elemento (mostrar duas inclusões para cada igualdade).

Passo 2

Relembrando definições e ideias lógicas básicas (aula rápida e prática):
  • Definição de complemento: para B\subseteq\Omega, B^c=\{\,\omega\in\Omega \mid \omega\notin B\,\}.
  • Definição de união: \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n=\{\,\omega\in\Omega \mid \exists n\in\mathbb{N} \text{ tal que } \omega\in A_n\,\}.
  • Definição de interseção: \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n=\{\,\omega\in\Omega \mid \forall n\in\mathbb{N},\; \omega\in A_n\,\}.
  • Lógica essencial: a negação de “existe” é “para todo não”, e a negação de “para todo” é “existe não”. Em símbolos:
    • \neg(\exists n:\;P(n)) é equivalente a \forall n:\;\neg P(n).
    • \neg(\forall n:\;P(n)) é equivalente a \exists n:\;\neg P(n).
Essas equivalências lógicas são o coração das leis de De Morgan quando traduzimos propriedade de pertencimento de um elemento.

Passo 3

Prova da primeira lei:
Quero provar
\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c.
Farei por inclusões.
  1. Mostramos \left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c \subseteq \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c.
  • Seja \omega\in\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c.
  • Pela definição de complemento, isso significa que \omega\notin \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n.
  • Pela definição de união, \omega\notin \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n equivale a: não existe n tal que \omega\in A_n. Em símbolos: \neg(\exists n:\;\omega\in A_n).
  • Aplicando a equivalência lógica do Passo 2, isso é equivalente a \forall n:\; \omega\notin A_n.
  • Por definição de complemento, \omega\notin A_n equivale a \omega\in A_n^c. Logo \forall n:\; \omega\in A_n^c.
  • Pela definição de interseção, isso significa \omega\in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c.
  • Concluímos a inclusão desejada.
  1. Mostramos \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c \subseteq \left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c.
  • Seja \omega\in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c.
  • Pela definição de interseção, isso significa que \forall n:\; \omega\in A_n^c.
  • Por definição de complemento, \omega\in A_n^c equivale a \omega\notin A_n. Então \forall n:\; \omega\notin A_n.
  • Isso é a mesma coisa que dizer que "não existe n tal que \omega\in A_n", em símbolos \neg(\exists n:\;\omega\in A_n).
  • Logo \omega\notin \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n, ou seja, \omega\in\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c.
  • Assim obtivemos a inclusão contrária.
Tendo as duas inclusões, concluímos a igualdade:
\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c.

Passo 4

Prova da segunda lei:
Quero provar
\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c.
Também por inclusões, ou usando diretamente a lógica (é o “dual” do passo anterior).
  1. Mostramos \left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c.
  • Seja \omega\in\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c.
  • Então \omega\notin \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n.
  • Pela definição de interseção, isso significa que não é verdade que \forall n:\; \omega\in A_n. Em símbolos: \neg(\forall n:\;\omega\in A_n).
  • Pela equivalência lógica do Passo 2, \neg(\forall n:\;\omega\in A_n) é equivalente a \exists n:\; \omega\notin A_n.
  • Para esse n temos \omega\in A_n^c. Portanto existe n tal que \omega\in A_n^c.
  • Pela definição de união, isso significa \omega\in \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c.
  • Assim obtemos a inclusão desejada.
  1. Mostramos \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \subseteq \left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c.
  • Seja \omega\in \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c.
  • Então existe n tal que \omega\in A_n^c.
  • Isso significa \omega\notin A_n para esse n.
  • Logo não é verdade que \forall n:\; \omega\in A_n, isto é, \neg(\forall n:\;\omega\in A_n).
  • Pela definição de complemento da interseção, isso significa \omega\in\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c.
  • Assim obtemos a inclusão contrária.
Com as duas inclusões concluímos a igualdade:
\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c.

Passo 5

Observações e intuição prática (para te dar confiança na prova):
  • Essas provas são puramente lógicas e funcionam para qualquer família (finita ou infinita, contável ou até não contável) de conjuntos, desde que façamos as correspondentes quantificações.
  • Para o caso finito n=1,2 as igualdades ficam mais familiares: (A\cup B)^c = A^c\cap B^c,\qquad (A\cap B)^c = A^c\cup B^c.A prova é idêntica, só que as quantificações "existe n" ou "para todo n" reduzem-se a casos finitos.
  • Essas leis são super úteis em probabilidade porque permitem trocar complementos com uniões/interseções — por exemplo, para calcular p\bigl(\bigcup_{n} A_n\bigr) às vezes é mais fácil trabalhar com p\bigl(\bigcap_n A_n^c\bigr) e usar propriedades de medida/probabilidade.
Força — se quiser, eu te mostro um exemplo numérico concreto usando três eventos para praticar a tradução lógica passo a passo.

Resposta

\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c
\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c

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