lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
é espaço amostral,
é
-álgebra de eventos e
probailidade
Prove as leis de DeMorgan
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
Prove as leis de DeMorgan
Passo 1
O enunciado dá o espaço amostral
, uma
-álgebra de eventos
e uma probabilidade
. Pede para provar as leis de De Morgan. Vou assumir que temos uma família contável de eventos
com
para todo
. As igualdades que precisamos demonstrar são:
e
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
é espaço amostral,
é
-álgebra (logo fechada por complementos e uniões contáveis) e
é uma probabilidade (a existência de
não é necessária para provar De Morgan, mas mostra o contexto probabilístico). A resolução vai usar a definição de complemento, união e interseção e raciocínio elemento a elemento (mostrar duas inclusões para cada igualdade).
Passo 2
Relembrando definições e ideias lógicas básicas (aula rápida e prática):
- Definição de complemento: para
, . - Definição de união:
. - Definição de interseção:
. - Lógica essencial: a negação de “existe” é “para todo não”, e a negação de “para todo” é “existe não”. Em símbolos:
-
é equivalente a . -
é equivalente a .
-
Essas equivalências lógicas são o coração das leis de De Morgan quando traduzimos propriedade de pertencimento de um elemento.
Passo 3
Prova da primeira lei:
Quero provar
Quero provar
Farei por inclusões.
- Mostramos
.
- Seja
. - Pela definição de complemento, isso significa que
. - Pela definição de união,
equivale a: não existe tal que . Em símbolos: . - Aplicando a equivalência lógica do Passo 2, isso é equivalente a
. - Por definição de complemento,
equivale a . Logo . - Pela definição de interseção, isso significa
. - Concluímos a inclusão desejada.
- Mostramos
.
- Seja
. - Pela definição de interseção, isso significa que
. - Por definição de complemento,
equivale a . Então . - Isso é a mesma coisa que dizer que "não existe
tal que ", em símbolos . - Logo
, ou seja, . - Assim obtivemos a inclusão contrária.
Tendo as duas inclusões, concluímos a igualdade:
Passo 4
Prova da segunda lei:
Quero provar
Quero provar
Também por inclusões, ou usando diretamente a lógica (é o “dual” do passo anterior).
- Mostramos
.
- Seja
. - Então
. - Pela definição de interseção, isso significa que não é verdade que
. Em símbolos: . - Pela equivalência lógica do Passo 2,
é equivalente a . - Para esse
temos . Portanto existe tal que . - Pela definição de união, isso significa
. - Assim obtemos a inclusão desejada.
- Mostramos
.
- Seja
. - Então existe
tal que . - Isso significa
para esse . - Logo não é verdade que
, isto é, . - Pela definição de complemento da interseção, isso significa
. - Assim obtemos a inclusão contrária.
Com as duas inclusões concluímos a igualdade:
Passo 5
Observações e intuição prática (para te dar confiança na prova):
- Essas provas são puramente lógicas e funcionam para qualquer família (finita ou infinita, contável ou até não contável) de conjuntos, desde que façamos as correspondentes quantificações.
- Para o caso finito
as igualdades ficam mais familiares: A prova é idêntica, só que as quantificações "existe " ou "para todo " reduzem-se a casos finitos. - Essas leis são super úteis em probabilidade porque permitem trocar complementos com uniões/interseções — por exemplo, para calcular
às vezes é mais fácil trabalhar com e usar propriedades de medida/probabilidade.
Força — se quiser, eu te mostro um exemplo numérico concreto usando três eventos para praticar a tradução lógica passo a passo.