Uma empresa fornece tubos de aço para um cliente, que exige que os comprimentos estejam entre 90 e 100 cm : O processo de produção fornece tubos com comprimentos (em cm) que variam de acordo com uma distribuição de probabilidades normal com média \mu=97 \mathrm{~cm} e desvio-padrão \sigma=2,0 \mathrm{~cm}. Os tubos grandes podem ser cortados, mas os pequenos têm que ser descartados como sucata.
a) Calcule a proporção de tubos produzidos dentro das especificações do cliente.
b) Calcule a proporção de tubos que precisam ser cortados para atender as especificações do cliente.
c) Um tubo foi retirado para ser cortado, pois constatou-se que tinha comprimento maior que 100 cm . Qual é a probabilidade de que seja necessário cortar no máximo 2 cm para que o comprimento que dentro das especificações do cliente?
d) Para quanto deve ser regulada a média do processo para que a proporção de tubos grandes seja de 5%? Com essa nova regulagem, qual é a proporção de tubos descartados como sucata? Suponha que o desvio-padrão permaneça o mesmo.

Passo 1

O problema trata de comprimentos de tubos que seguem uma distribuição normal X\sim N(\mu,\sigma^{2}) com \mu=97 cm e \sigma=2 cm. O cliente aceita tubos com comprimento entre 90 cm e 100 cm; tubos maiores que 100 cm podem ser cortados, e tubos menores que 90 cm são sucata. Precisamos:
1. Calcular P(90\le X\le100).
2. Calcular P(X>100).
3. Dados X>100, achar P(X\le100+2\mid X>100).
4. Ajustar \mu para que P(X>100)=0,05 e, com esse novo \mu, calcular P(X<90).

Passo 2

Para (a), usamos a padronização Z=(X-\mu)/\sigma. Então
P(90\le X\le100) =\Phi\!\bigl(\tfrac{100-\mu}{\sigma}\bigr)-\Phi\!\bigl(\tfrac{90-\mu}{\sigma}\bigr).
Substituindo \mu=97 e \sigma=2:
P(90\le X\le100) =\Phi\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)-\Phi\!\bigl(\tfrac{-7}{2}\bigr) =\Phi(1,5)-\Phi(-3,5)\approx0,9332-0,0002=0,9330.

Passo 3

Para (b),
P(X>100)=1-\Phi\!\bigl(\tfrac{100-97}{2}\bigr) =1-\Phi(1,5)\approx1-0,9332=0,0668.

Passo 4

Para (c), queremos
P\bigl(X\le102\mid X>100\bigr) =\frac{P(100<X\le102)}{P(X>100)} =\frac{\Phi\!\bigl(\tfrac{102-97}{2}\bigr)-\Phi\!\bigl(\tfrac{100-97}{2}\bigr)}{1-\Phi(1,5)}.
Calculando os z-scores: \tfrac{102-97}{2}=2,5, logo
P(100<X\le102)=\Phi(2,5)-\Phi(1,5)\approx0,9938-0,9332=0,0606,
e já temos P(X>100)=0,0668. Assim
P\bigl(X\le102\mid X>100\bigr)\approx\frac{0,0606}{0,0668}\approx0,907.

Passo 5

Para (d), exigimos
P(X>100)=0,05\quad\Longrightarrow\quad 1-\Phi\!\bigl(\tfrac{100-\mu}{2}\bigr)=0,05 \quad\Longrightarrow\quad \Phi\!\bigl(\tfrac{100-\mu}{2}\bigr)=0,95.
O quantil \Phi^{-1}(0,95) vale aproximadamente 1,645, então
\tfrac{100-\mu}{2}=1,645 \quad\Longrightarrow\quad \mu=100-2\times1,645=96,71\text{ cm}.
Com esse novo \mu, a sucata é
P(X<90)=\Phi\!\bigl(\tfrac{90-96,71}{2}\bigr) =\Phi(-3,355)\approx0,00039.

Resposta

(a) 0,9330
(b) 0,0668
(c) 0,907
(d) \mu\approx96,71 cm; proporção de sucata \approx0,00039 ( 0,039\%).

Exercícios relacionados