Uma empresa fundada em 1990 tem, para cada ano n de funcionamento, um lucro igual a . a) Em que período a empresa apresentou lucro crescente? b) A partir de que ano a empresa terá prejuízo?

Passo 1

Temos uma função quadrática de lucro em que o tempo de funcionamento é medido em anos contados desde 1990. O enunciado dá
L(n)=100000l(-n^2+22nr)
Queremos saber quando o lucro cresce e quando passa a ser negativo.

Passo 2

Para achar o intervalo de crescimento, calculamos a derivada de L(n):
L'(n)=100000(-2n+22)
O lucro cresce quando L'(n)>0, isto é,
-2n+22>0 implies n<11
Logo, o lucro é crescente nos primeiros 11 anos de funcionamento.

Passo 3

Agora, relacionamos o número de ano n com o ano-calendário. Se n=1 corresponde a 1990, então n=11 corresponde a 2000. Assim, o lucro cresce do ano de 1990 até o ano de 2000 inclusive.

Passo 4

Para determinar quando há prejuízo, impomos L(n)<0:
-n^2+22n<0 implies n(22-n)<0 implies n>22
Isso significa que a partir do 23º ano de funcionamento ( n=23) o lucro fica negativo. Convertendo, o 23º ano é 1990+(23−1)=2012.

Resposta

a) A empresa apresentou lucro crescente de 1990 até 2000. b) A partir de 2012 a empresa terá prejuízo.

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