Uma empresa garante, na embalagem do seu produto, que apenas
das peças produzidas por ela são defeituosas. Se adquirimos uma caixa contendo 12 peças produzidas por esta empresa, qual é a probabilidade de que as duas primeiras selecionadas ao acaso desta caixa sejam defeituosas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A empresa garante que apenas
das peças produzidas são defeituosas. - Compramos uma caixa com 12 peças produzidas por essa empresa.
- Pergunta: qual é a probabilidade de que as duas primeiras selecionadas ao acaso dessa caixa sejam defeituosas?
Passo 2
Modelagem e interpretação do que significa o dado “
são defeituosas”:
- Interpretamos que, para cada peça produzida, a probabilidade de ela ser defeituosa é
. - As peças na caixa vieram da produção de forma independente, ou seja, o estado “defeituosa / não defeituosa” de cada peça pode ser modelado como uma variável aleatória Bernoulli com parâmetro
, independente das outras peças. - Selecionar duas peças “ao acaso” da caixa sem reposição equivale a olhar o estado de duas peças distintas. Pelo argumento de simetria e independência entre as peças, a probabilidade de ambas serem defeituosas coincide com a probabilidade de duas peças específicas serem defeituosas.
Passo 3
Regra de multiplicação para eventos independentes (a aula rápida):
- Se
e são dois eventos independentes, vale a fórmula
- Aqui, tome
= “a primeira peça selecionada é defeituosa” e = “a segunda peça selecionada é defeituosa”. - Pela modelagem anterior,
e, por independência (explicada no passo 2), . Logo podemos aplicar a regra de multiplicação.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao problema:
Substituindo
:
Passo 5
Interpretações numéricas e formas alternativas de ver o resultado:
- Em forma de fração:
. - Em porcentagem:
. - Observação didática: outra forma rigorosa seria modelar as 12 peças por variáveis Bernoulli independentes
com ; então a probabilidade de que duas peças particulares (as selecionadas) sejam 1 é por independência — chega-se ao mesmo valor.