Uma empresa garante, na embalagem do seu produto, que apenas 2 \% das peças produzidas por ela são defeituosas. Se adquirimos uma caixa contendo 12 peças produzidas por esta empresa, qual é a probabilidade de que as duas primeiras selecionadas ao acaso desta caixa sejam defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A empresa garante que apenas 2\% das peças produzidas são defeituosas.
  • Compramos uma caixa com 12 peças produzidas por essa empresa.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que as duas primeiras selecionadas ao acaso dessa caixa sejam defeituosas?

Passo 2

Modelagem e interpretação do que significa o dado “ 2\% são defeituosas”:
  • Interpretamos que, para cada peça produzida, a probabilidade de ela ser defeituosa é p=0{,}02.
  • As peças na caixa vieram da produção de forma independente, ou seja, o estado “defeituosa / não defeituosa” de cada peça pode ser modelado como uma variável aleatória Bernoulli com parâmetro p, independente das outras peças.
  • Selecionar duas peças “ao acaso” da caixa sem reposição equivale a olhar o estado de duas peças distintas. Pelo argumento de simetria e independência entre as peças, a probabilidade de ambas serem defeituosas coincide com a probabilidade de duas peças específicas serem defeituosas.

Passo 3

Regra de multiplicação para eventos independentes (a aula rápida):
  • Se A e B são dois eventos independentes, vale a fórmula
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
  • Aqui, tome A = “a primeira peça selecionada é defeituosa” e B = “a segunda peça selecionada é defeituosa”.
  • Pela modelagem anterior, P(A)=p e, por independência (explicada no passo 2), P(B)=p. Logo podemos aplicar a regra de multiplicação.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao problema:
P(\text{primeira e segunda defeituosas})=P(A\cap B)=p\cdot p=p^{2}.
Substituindo p=0{,}02:
p^{2}=(0{,}02)^{2}=0{,}0004.

Passo 5

Interpretações numéricas e formas alternativas de ver o resultado:
  • Em forma de fração: \tfrac{1}{2500}.
  • Em porcentagem: 0{,}04\%.
  • Observação didática: outra forma rigorosa seria modelar as 12 peças por variáveis Bernoulli independentes X_1,\dots,X_{12} com P(X_i=1)=p; então a probabilidade de que duas peças particulares (as selecionadas) sejam 1 é P(X_i=1,X_j=1)=p^2 por independência — chega-se ao mesmo valor.

Resposta

0{,}0004
\tfrac{1}{2500}
0{,}04\%

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