Um fabricante identificou as seguintes opções para obter uma peça usinada.
  • Comprar a peça a R$ 200,00/unidade;
  • Produzir a peça em um torno convencional mecânico a \mathrm{R} \ 75,00 /$ unidade (incluindo materiais);
  • Produzir a peça em um torno semiautomático, a \mathrm{R} \ 15,00$ unidade (incluindo materiais)
Estes são os custos variáveis das opções. Há um custo fixo mensal irrisório se o item for comprado; os custos fixos mensais para a opção de um torno convencional são R$80,000, incluindo os custos de depreciação do torno; e os custos fixos mensais para a opção de um torno semiautomático são de \mathrm{R} \200,00$, incluindo os custos de depreciação deste equipamento.
6.1) O torno semiautomático é a melhor opção se a demanda/mês for superior a:
a) 500 unidades
b) 1600 unidades
c) 670 unidades
d) 2000 unidades
e) 760 unidades
6.2) O torno convencional seria a opção desejável se a demanda/mês estiver situada entre:
a) 240 e 670 unidades
b) 640 e 2000 unidades
c) 380 e 760 unidades
d) 1400 e 1800 unidades
e) 100 a 500 unidades

Passo 1

O enunciado nos dá três alternativas para atender uma demanda mensal x de peças:
– Comprar a R\$200 por unidade, sem custo fixo relevante;
– Produzir em torno convencional com custo fixo mensal de R\$80\,000 e custo variável de R\$75 por unidade;
– Produzir em torno semiautomático com custo fixo mensal de R\$200\,000 e custo variável de R\$15 por unidade.
O objetivo é comparar os custos totais de cada opção
T_{\text{compra}}(x)=200x, \quad T_{\text{conv}}(x)=80\,000+75x, \quad T_{\text{semi}}(x)=200\,000+15x
e encontrar para que valores de x cada opção é a mais econômica.

Passo 2

Primeiro, determinamos o ponto de equilíbrio entre torno semiautomático e torno convencional, resolvendo
200\,000+15x < 80\,000+75x.
Subtraindo 15x e 80\,000 de ambos os lados:
200\,000 - 80\,000 < 75x - 15x \quad\Longrightarrow\quad 120\,000 <60x \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{120\,000}{60}=2\,000.
Logo, para x>2\,000, o semiautomático custa menos que o convencional.

Passo 3

Agora comparamos torno semiautomático e compra direta, resolvendo
200\,000+15x < 200x.
Reorganizando:
200\,000 <200x -15x =185x \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{200\,000}{185}\approx1\,081{,}08.
Isso significa que, para x>1\,081{,}08, é mais barato usar o semiautomático do que comprar.

Passo 4

Para que o torno semiautomático seja a melhor opção, ele deve ser mais barato que as outras duas simultaneamente. Portanto
x > \max\{2\,000,\;1\,081{,}08\}=2\,000.
A demanda mínima para que o semiautomático seja o mais econômico é 2\,000 unidades.

Passo 5

Em seguida, achamos quando o torno convencional é o melhor. Ele deve custar menos que compra e semiautomático:
  1. Convencional vs. compra:
80\,000+75x <200x \quad\Longrightarrow\quad 80\,000 <125x \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{80\,000}{125}=640.
  1. Convencional vs. semiautomático: já tínhamos
80\,000+75x <200\,000+15x \quad\Longrightarrow\quad x <2\,000.
Combinando:
640 < x < 2\,000.

Resposta

6.1) d) 2\,000 unidades
6.2) b) entre 640 e 2\,000 unidades

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