1. Uma empresa de laminados possui duas f’abricas, uma na cidade A e outra na cidade B. A empresa produz laminados de tr^es tipos de espessura: fina, m’edia e grossa. A empresa deve entregar mensalmente, ao seus contratantes, laminados nas espessuras fino, m’edio e grosso, nas respectivas quantidades, 16 ton., 6 ton. e 28 ton… A f’abrica na cidade A produz, diariamente, 8 ton. de l’aminas finas, 1 ton. de l^aminas m’edia e 2 ton. de l^aminas grossas a um custo de produ, c^ao díario de \mathrm{R} \ 100.000,00 . A f'abrica na cidade B produz, diariamente, 2 ton. de l^aminas finas, 1 ton. de l`aminas m 'edia e 7 ton. de I^aminas grossas a um custo de produ, c^ao díario deí\mathrm{R} $200.000,00$. Quantos dias cada f’abrica dever’a operar para atender o contrato mensal? Considere semana de 5 dias e m^es com 30 dias.

Passo 1

O enunciado pede quantos dias devem operar, no mês de 30 dias (semana de 5 dias, logo 30 dias úteis), cada uma das fábricas A e B para satisfazer exatamente a demanda mensal de laminados: 16 t de finos, 6 t de médios e 28 t de grossos, minimizando o custo. O conteúdo envolvido é Programação Linear (PL) em duas variáveis com objetivo de minimizar custo sujeito a restrições de produção.

Passo 2

Definimos as variáveis
x = número de dias que a fábrica A opera no mês
y = número de dias que a fábrica B opera no mês
Cada dia em A custa \mathrm{R}\$100\,000 e cada dia em B custa \mathrm{R}\$200\,000.
As restrições de produção, garantindo ao menos a demanda mensal, são
8x + 2y \;\ge\; 16
\;x + y\;\ge\; 6
2x +7y\;\ge\;28
x \ge 0,\quad y \ge 0
E a função-objetivo (custo total) a minimizar é
C(x,y) \;=\;100\,000\,x \;+\;200\,000\,y.

Passo 3

Encontramos os vértices da região viável em que duas restrições se igualam:
1) Interseção de 8x+2y=16 e x+y=6:
4x+y=8,\quad x+y=6
\implies 3x=2\;\Rightarrow\;x=\tfrac23,\quad y=6-\tfrac23=\tfrac{16}3.
2) Interseção de x+y=6 e 2x+7y=28:
x+y=6,\quad2x+7y=28
\implies -5x=-14\;\Rightarrow\;x=2{,}8,\quad y=6-2{,}8=3{,}2.
3) Interseção de 8x+2y=16 e 2x+7y=28:
4x+y=8,\quad2x+7y=28
\implies -26x=-28\;\Rightarrow\;x\approx1{,}0769,\quad y\approx3{,}6923.

Passo 4

Verificamos quais desses pontos satisfazem todas as restrições e calculamos o custo:
\bullet Em \bigl(x,y\bigr)=(\tfrac23,\tfrac{16}3):
satisfaz a terceira restrição e x,y\ge0.
C=\;100\,000\cdot\tfrac23 \;+\;200\,000\cdot\tfrac{16}3 \;=\;66\,667+1\,066\,667 \;=\;1\,133\,334\\ \text{(R\$)}
\bullet Em \bigl(x,y\bigr)=(2{,}8,3{,}2):
satisfaz a primeira e todas as demais.
C=\;100\,000\cdot2{,}8 \;+\;200\,000\cdot3{,}2 \;=\;280\,000+640\,000 \;=\;920\,000\\ \text{(R\$)}
\bullet Em \bigl(x,y\bigr)\approx(1{,}0769,3{,}6923):
não satisfaz x+y\ge6, é inviável.
Os extremos no eixo x e y dão custos ainda maiores.

Passo 5

O custo mínimo ocorre em \bigl(x,y\bigr)=(2{,}8,3{,}2).

Resposta

A fábrica A deve operar 2{,}8 dias e a fábrica B deve operar 3{,}2 dias no mês para atender o contrato com custo mínimo.

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