A empresa ‘LogiMax Transportes’ modelou o custo operacional total,
, em reais por quilômetro, de seus caminhões em função da velocidade média,
, em
, pela função
. Embora esta não seja uma função polinomial, sua análise é crucial. Geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
representa:
O custo operacional minimo da operação do caminhão.
A taxa instantânea de variação do custo em relação à velocidade, indicando se aumentar ligeiramente a velocidade a partir de
torna a operação mais ou menos cara.
O custo operacional médio para uma viagem a
.
A velocidade ótima que minimiza o custo operacional.
A aceleração do custo, ou seja, quão rapidamente a taxa de variação do custo está mudando.
Passo 1
O enunciado dá a função de custo operacional por quilômetro em função da velocidade média:
e pede o significado geométrico da inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
. Aqui vamos usar o conceito de derivada para obter essa inclinação e, em seguida, interpretar seu significado.
Passo 2
Para achar a inclinação da reta tangente, calculamos a derivada de
em relação a
. Aplicando regras de derivação (derivada de constante é zero, de
dá
e de
dá
), temos
Passo 3
Agora avaliamos a derivada em
:
Passo 4
Geometricamente,
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
. Em termos físicos e econômicos, isso corresponde à taxa instantânea de variação do custo em relação à velocidade naquele ponto, ou seja, indica se um pequeno aumento na velocidade a partir de 50 km/h torna a operação mais cara ou mais barata. O fato de
também sinaliza que há um ponto estacionário (mínimo local) do custo em
.
Resposta
A taxa instantânea de variação do custo em relação à velocidade, indicando se aumentar ligeiramente a velocidade a partir de 50 km/h torna a operação mais ou menos cara.