A empresa ‘LogiMax Transportes’ modelou o custo operacional total, C, em reais por quilômetro, de seus caminhões em função da velocidade média, v, em \mathrm{km} / \mathrm{h}, pela função C(v)=8+0.02 v+\frac{50}{v}. Embora esta não seja uma função polinomial, sua análise é crucial. Geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de C(v) no ponto v=50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} representa:
O custo operacional minimo da operação do caminhão.
A taxa instantânea de variação do custo em relação à velocidade, indicando se aumentar ligeiramente a velocidade a partir de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} torna a operação mais ou menos cara.
O custo operacional médio para uma viagem a 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
A velocidade ótima que minimiza o custo operacional.
A aceleração do custo, ou seja, quão rapidamente a taxa de variação do custo está mudando.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo operacional por quilômetro em função da velocidade média:
C(v) = 8 + 0,02\,v + \frac{50}{v},
e pede o significado geométrico da inclinação da reta tangente ao gráfico de C(v) em v=50. Aqui vamos usar o conceito de derivada para obter essa inclinação e, em seguida, interpretar seu significado.

Passo 2

Para achar a inclinação da reta tangente, calculamos a derivada de C em relação a v. Aplicando regras de derivação (derivada de constante é zero, de 0,02v 0,02 e de 50/v -50/v^2), temos
C'(v) = 0,02 - \frac{50}{v^2}.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em v=50:
C'(50) = 0,02 - \frac{50}{50^2} = 0,02 - \frac{50}{2500} = 0,02 - 0,02 = 0.

Passo 4

Geometricamente, C'(50) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de C(v) em v=50. Em termos físicos e econômicos, isso corresponde à taxa instantânea de variação do custo em relação à velocidade naquele ponto, ou seja, indica se um pequeno aumento na velocidade a partir de 50 km/h torna a operação mais cara ou mais barata. O fato de C'(50)=0 também sinaliza que há um ponto estacionário (mínimo local) do custo em v=50.

Resposta

A taxa instantânea de variação do custo em relação à velocidade, indicando se aumentar ligeiramente a velocidade a partir de 50 km/h torna a operação mais ou menos cara.

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