Exercício 7. Se uma variável aleatória tem distribuição Poisson e P(X=0)=1 / 2, quanto vale a variância de X ?

Passo 1

O enunciado diz que uma variável aleatória X tem distribuição Poisson e que \Pr(X=0)=\tfrac{1}{2}. A pergunta é: qual é a variância de X?\n
Informações dadas:
\Pr(X=0)=\tfrac{1}{2}
e que X segue uma distribuição Poisson (com algum parâmetro, que vamos chamar de \lambda>0).\n
O que precisamos obter: \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Vou escrever a fórmula básica da distribuição Poisson e explicar cada parte. Se X tem Poisson com parâmetro \lambda>0, então a probabilidade de X assumir o valor inteiro k\in\{0,1,2,\dots\} é
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando os símbolos:
  • \lambda é um número positivo que caracteriza a distribuição (média esperada de ocorrências).
  • e^{-\lambda} é a função exponencial com base e (constante ~ 2,71828).
  • \lambda^{k} é \lambda elevado à potência k.
  • k! é o fatorial de k, definido por k!=k\cdot(k-1)\cdots1 e 0!=1.

Passo 3

Aplique a fórmula para k=0. Substituindo k=0 na expressão da Poisson obtemos:
\Pr(X=0)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{0}}{0!}.
Agora simplificamos termos fáceis:
\lambda^{0}=1,\qquad 0!=1,
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\Pr(X=0)=e^{-\lambda}.

Passo 4

Usamos a informação do enunciado \Pr(X=0)=\tfrac{1}{2}. Assim
e^{-\lambda}=\tfrac{1}{2}.
Para encontrar \lambda, aplicamos o logaritmo natural (função \ln) em ambos os lados:
-\lambda=\ln\!\Big(\tfrac{1}{2}\Big).
Como \ln\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=\ln(1)-\ln(2)=0-\ln 2=-\ln 2, temos
-\lambda=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\ln 2.

Passo 5

Agora precisamos lembrar (e entender) a relação entre variância e parâmetro para a Poisson. Propriedade fundamental: se X\sim Poisson (\lambda), então a esperança (média) e a variância são ambas iguais a \lambda:
\mathbb{E}[X]=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(X)=\lambda.
Breve justificativa intuitiva e técnica:
  • Intuitivamente, a Poisson modela o número médio de ocorrências em um intervalo; esse número médio é \lambda, e a dispersão típica ao redor dessa média também tem tamanho \lambda.
  • Tecnicamente, pode-se obter isso derivando a função geradora de momentos M_X(t)=\exp(\lambda(e^{t}-1)) e avaliando M_X'(0)=\mathbb{E}[X]=\lambda e M_X''(0)=\mathbb{E}[X^{2}]=\lambda+\lambda^{2}. Então
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}=(\lambda+\lambda^{2})-\lambda^{2}=\lambda.
Você não precisa decorar a derivação completa se lembrar da propriedade, mas entender que ela vem de derivadas da função geradora ajuda a confiar nela.

Passo 6

Já determinamos em

Passo 7

\operatorname{Var}(X)=\ln 2.
Se quiser uma aproximação decimal, \ln 2\approx0,6931 (usei vírgula como separador decimal).

Resposta

\operatorname{Var}(X)=\ln 2\approx0,6931

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