Exercício 7. Se uma variável aleatória tem distribuição Poisson e
, quanto vale a variância de
?
Passo 1
O enunciado diz que uma variável aleatória
tem distribuição Poisson e que
. A pergunta é: qual é a variância de
?\n
Informações dadas:
Informações dadas:
e que
segue uma distribuição Poisson (com algum parâmetro, que vamos chamar de
).\n
O que precisamos obter: .
O que precisamos obter:
Passo 2
Vou escrever a fórmula básica da distribuição Poisson e explicar cada parte. Se
tem Poisson com parâmetro
, então a probabilidade de
assumir o valor inteiro
é
Explicando os símbolos:
-
é um número positivo que caracteriza a distribuição (média esperada de ocorrências). -
é a função exponencial com base (constante ~ ). -
é elevado à potência . -
é o fatorial de , definido por e .
Passo 3
Aplique a fórmula para
. Substituindo
na expressão da Poisson obtemos:
Agora simplificamos termos fáceis:
logo
Passo 4
Usamos a informação do enunciado
. Assim
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural (função
) em ambos os lados:
Como
, temos
Passo 5
Agora precisamos lembrar (e entender) a relação entre variância e parâmetro para a Poisson. Propriedade fundamental: se
Poisson
, então a esperança (média) e a variância são ambas iguais a
:
Breve justificativa intuitiva e técnica:
- Intuitivamente, a Poisson modela o número médio de ocorrências em um intervalo; esse número médio é
, e a dispersão típica ao redor dessa média também tem tamanho . - Tecnicamente, pode-se obter isso derivando a função geradora de momentos
e avaliando e . Então
Você não precisa decorar a derivação completa se lembrar da propriedade, mas entender que ela vem de derivadas da função geradora ajuda a confiar nela.
Passo 6
Já determinamos em
Passo 7
Se quiser uma aproximação decimal,
(usei vírgula como separador decimal).