Obtenha o valor da velocidade terminal das gotas de chuva de 1 mm de diametro que caem pelo ar à
. Considere a gota com esfericidade igual à 1 .
Propriedades do ar:
.
Passo 1
Enunciado e dados: devemos obter a velocidade terminal da gota de chuva de diâmetro
que cai no ar à
. O enunciado dá as propriedades do ar:
A gota tem esfericidade igual a 1 (ou seja, assumimos uma esfera). Vou também usar:
e a gravidade
Pergunta pedida: calcular a velocidade terminal
da gota (valor numérico).
Passo 2
O que é velocidade terminal e quais forças equilibram-se: quando a gota cai a velocidade cresce até que o peso resultante (peso menos empuxo) seja equilibrado pela força de arrasto. Em equilíbrio (velocidade terminal) temos:
Escrevendo cada termo:
onde
é o volume da esfera,
a área de seção,
o coeficiente de arrasto (depende de Reynolds). O balanço é
Passo 3
Volume e área da esfera (usando
o diâmetro):
É útil notar a razão
:
Passo 4
Isolando
da equação de equilíbrio e usando
obtemos a fórmula prática
Repare que
depende do número de Reynolds
Portanto precisamos de um procedimento iterativo: escolher um
(ou um chute para
), calcular
, atualizar
por uma correlação apropriada, recalcular
e iterar até convergir.
Passo 5
Verificação rápida: se usássemos a lei de Stokes (válida somente para
) teríamos a expressão
Calculando numericamente:
Fazendo as contas passo a passo:
Esse valor é grande; calculemos o Reynolds com esse
:
Como
está na ordem de
, a hipótese
é falsa — logo a lei de Stokes não é aplicável aqui. Precisamos do arrasto quadrático com
.
Passo 6
Vou usar a correlação de Schiller–Naumann (válida para
, mas dá uma boa aproximação para a região intermediária; ela é comumente usada para gotas/partículas):
Procedimento: iterar até convergência:
- chutar um
(ou ), - calcular
pela fórmula , - calcular
e atualizar pela Schiller–Naumann, - repetir.
Passo 7
Primeira iteração: chuto
(valor típico para esferas em regime transitório).
Calcule primeiro o fator comum
Calcule primeiro o fator comum
Numérico:
Com
:
Calcule
:
Atualize
pela Schiller–Naumann:
Passo 8
Segunda iteração: com
,
Calcule
:
Atualize
:
Passo 9
Terceira iteração: com
,
Atualize
:
Passo 10
Quarta iteração: com
,
A diferença entre
e
já é pequena; o processo está convergindo. Podemos aceitar a convergência em torno de