Uma empresa de pesquisa de opinialo pública seleciona 300 eleitores de Săo Paulo e 400 do Rio de Janeiro, e pergunta a cada um se votara ou näo no candidato A , nas próximas eleiçöes. Setenta e cinco eleitores de SP e 120 do RU respondem afirmativamente. Hal diferença significativa entre as proporçöes de eleitores a favor de A nos dois Estados? Usar alpha=5 %.

Passo 1

Vamos resumir o problema: uma pesquisa perguntou a 300 eleitores de São Paulo e 400 do Rio de Janeiro se votariam no candidato A. Em São Paulo, 75 disseram que sim, e no Rio de Janeiro, 120. Queremos saber se há uma diferença significativa nas proporções de eleitores que apoiam o candidato A nos dois estados, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos utilizar o teste de hipótese para a diferença entre duas proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as proporções de eleitores que responderam afirmativamente em cada estado.
Em São Paulo:
p1 = 75300 = 0,25
No Rio de Janeiro:
p2 = 120400 = 0,30
Essas são as proporções de apoio ao candidato A em cada estado.

Passo 3

Agora, definimos as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula (H₀): As proporções são iguais, ou seja, $ p_1 = p_2 $
  • Hipótese alternativa (H₁): As proporções são diferentes, ou seja, $ p_1 \neq p_2 $

Passo 4

Vamos calcular a proporção combinada ($ p $) assumindo que a hipótese nula é verdadeira:
p úú

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão da diferença entre as duas proporções:
SE = raizp times (1 - p) times ( 1n1 + 1n2 )
SE = raiz0,2786 times 0,7214 times ( 1300 + 1400 )
SE approx raiz0,2786 times 0,7214 times 0,00583
SE approx raiz0,001172
SE approx 0,0342

Passo 6

Calculamos o valor do teste estatístico (z):
z = p1 - p2SE = 0,25 - 0,300,0342 approx -0,050,0342 approx -1,46

Passo 7

Agora, encontramos o valor-p correspondente ao z calculado. Como o teste é bilateral, multiplicamos a probabilidade de um lado por 2.
Consultando a tabela z:
P(Z < -1,46) approx 0,0721
Valor-p = 2 times 0,0721 = 0,1442

Passo 8

Comparamos o valor-p com o nível de significância ($ \alpha = 0,05 $):
alpha = 0,05

Resposta

Como o valor-p (≈0,1442) é maior que 5%, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há diferença significativa nas proporções de eleitores a favor do candidato A entre São Paulo e Rio de Janeiro.

Exercícios relacionados