Uma pesquisa revelou que das 500 donas-de-casa consultadas, 300 preferiram o detergente A. Testar a hipótese, ao nivel de 0,04 , para H0: p= 0,5 contra H1: p neq 0,5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma pesquisa com 500 donas-de-casa, das quais 300 preferiram o detergente $ A $. Nosso objetivo é testar uma hipótese estatística para ver se a proporção real de preferências pelo detergente $ A $ é igual a 50% ($ p = 0,5 A óçõíâ \alpha = 0,04 $).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número total de observações ($ n $): 500
  • Número de sucessos ($ x $): 300
  • Proporção hipotética ($ p_0 $): 0,5
  • Nível de significância ($ \alpha $): 0,04

Passo 3

Agora, precisamos calcular a proporção observada ($ \hat{p} $):
p
Então, a proporção observada é de 60%.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão ($ EP $) é:
EP

Passo 5

Com o erro padrão, podemos calcular o valor do teste ($ z $) usando a fórmula:
z

Passo 6

Agora, precisamos determinar a região crítica para o teste. Como é um teste bilateral ($ H_1: p \neq 0,5 $), vamos dividir o nível de significância por 2 para cada lado da distribuição normal:
H1: p neq 0,5
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,02 $ é aproximadamente $ z_{crítico} \approx \pm 2,054 $.

Passo 7

Comparamos o valor do teste $ z $ com os valores críticos:
z
Como $ z = 4,472 $ está além do valor crítico positivo $ 2,054 $, isso significa que a estatística do teste está na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com base no cálculo, rejeitamos a hipótese nula $ H_0: p = 0,5 $ ao nível de significância de 4%. Isso indica que há evidências suficientes para afirmar que a proporção de donas-de-casa que preferem o detergente $ A $ difere de 50%.

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