Uma pesquisa revelou que das 500 donas-de-casa consultadas, 300 preferiram o detergente
. Testar a hipótese, ao nivel de 0,04 , para
0,5 contra
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma pesquisa com 500 donas-de-casa, das quais 300 preferiram o detergente $ A $. Nosso objetivo é testar uma hipótese estatística para ver se a proporção real de preferências pelo detergente $ A $ é igual a 50% ($ p = 0,5
\alpha = 0,04 $).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Número total de observações ($ n $): 500
- Número de sucessos ($ x $): 300
- Proporção hipotética ($ p_0 $): 0,5
- Nível de significância ($ \alpha $): 0,04
Passo 3
Agora, precisamos calcular a proporção observada ($ \hat{p} $):
Então, a proporção observada é de 60%.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão ($ EP $) é:
Passo 5
Com o erro padrão, podemos calcular o valor do teste ($ z $) usando a fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos determinar a região crítica para o teste. Como é um teste bilateral ($ H_1: p \neq 0,5 $), vamos dividir o nível de significância por 2 para cada lado da distribuição normal:
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,02 $ é aproximadamente $ z_{crítico} \approx \pm 2,054 $.
Passo 7
Comparamos o valor do teste $ z $ com os valores críticos:
Como $ z = 4,472 $ está além do valor crítico positivo $ 2,054 $, isso significa que a estatística do teste está na região de rejeição da hipótese nula.
Resposta
Com base no cálculo, rejeitamos a hipótese nula $ H_0: p = 0,5 $ ao nível de significância de 4%. Isso indica que há evidências suficientes para afirmar que a proporção de donas-de-casa que preferem o detergente $ A $ difere de 50%.