Na tabela a seguir estão registrados os indices de vendas de uma amostra de seis supermercados para os produtos concorrentes da marca A e da marca B. Teste a hipótese de que a diferença das médias dos indices de vendas entre as marcas é zero, sendo alpha=5 %.
Supermercado Marca A Marca B
1 14 4
2 20 16
3 2 28
4 11 9
5 5 31
6 12 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá os índices de vendas de duas marcas, a A e a B, em seis supermercados diferentes. A gente precisa testar se a diferença média dos índices de vendas entre essas duas marcas é zero, ou seja, se não tem diferença significativa entre elas. Para isso, vamos usar o Teste t para amostras pareadas, que é uma ferramenta estatística para comparar as médias de dois grupos relacionados. Vamos precisar calcular as diferenças entre os índices de cada par de marcas nos supermercados e seguir alguns passos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença entre os índices de vendas da marca A e da marca B para cada supermercado. Isso significa subtrair o índice da marca B do índice da marca A em cada um dos seis supermercados:
Diferença no Supermercado 1 &= 14 - 4 = 10 Diferença no Supermercado 2 &= 20 - 16 = 4 Diferença no Supermercado 3 &= 2 - 28 = -26 Diferença no Supermercado 4 &= 11 - 9 = 2 Diferença no Supermercado 5 &= 5 - 31 = -26 Diferença no Supermercado 6 &= 12 - 10 = 2 çççççç

Passo 3

Agora, vamos calcular a média dessas diferenças. Para isso, somamos todas as diferenças e dividimos pelo número de supermercados (que é 6):
Média das Diferenças = 10 + 4 + (-26) + 2 + (-26) + 26 = -346 approx -5,67 éç
Isso quer dizer que, em média, a marca A tem um índice de vendas cerca de 5,67 pontos menor que a marca B.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão das diferenças para entender a variação dos nossos dados. Primeiro, vamos encontrar o desvio de cada diferença em relação à média e depois calcular a variância:
(10 - (-5,67))^2 &= (15,67)^2 approx 245,33 (4 - (-5,67))^2 &= (9,67)^2 approx 93,45 (-26 - (-5,67))^2 &= (-20,33)^2 approx 413,28 (2 - (-5,67))^2 &= (7,67)^2 approx 58,80 (-26 - (-5,67))^2 &= (-20,33)^2 approx 413,28 (2 - (-5,67))^2 &= (7,67)^2 approx 58,80
Agora, somamos esses valores e dividimos por (n - 1), onde n é o número de observações (6):
Variância = 245,33 + 93,45 + 413,28 + 58,80 + 413,28 + 58,805 = 1282,945 approx 256,59 â
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raiz256,59 approx 16,02 ã

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média das diferenças, que nos ajuda a entender a precisão da média que calculamos. Usamos a fórmula:
Erro Padrão = Desvio Padrãoraizn = 16,02raiz6 approx 16,022,45 approx 6,54 ãã
Com isso, podemos calcular a estatística t usando a fórmula:
t = Média das DiferençasErro Padrão = -5,676,54 approx -0,87 éçã

Passo 6

Agora, vamos verificar qual é o valor crítico de t para o nosso teste. Como estamos usando um nível de significância de 5% (α = 0,05) e temos n - 1 = 5 graus de liberdade, consultamos uma tabela t ou usamos uma calculadora estatística. Para um teste bicaudal, o valor crítico de t é aproximadamente ±2,571.

Passo 7

Finalmente, comparamos nosso valor t calculado (-0,87) com o valor crítico (±2,571). Como -0,87 está dentro do intervalo entre -2,571 e 2,571, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que existe uma diferença significativa nas médias dos índices de vendas entre as marcas A e B ao nível de significância de 5%.

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