Uma empresa poderia ter uma função de produção que exibisse rendimentos crescentes de escala, rendimentos constantes de escala e rendimentos decrescentes de escala, à medida que sua produção aumentasse? Discuta.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível ter uma mesma função de produção que, à medida que a escala de todos os fatores aumenta, apresente primeiro rendimentos crescentes de escala, depois constantes e finalmente decrescentes. O conteúdo é retornos de escala em teoria da firma, e vamos precisar da definição matemática de retornos de escala e de um exemplo de função não homogênea que mude de comportamento conforme a escala cresce.
Passo 2
Definição de retornos de escala: dado o vetor de fatores
e um escalar
, dizemos que
Observe que uma função homogênea de grau
satisfaz sempre
, logo fornece um único tipo de retorno de escala em toda escala (crescentes se
, constantes se
, decrescentes se
).
Passo 3
Para ter diferentes regimes de retornos de escala numa mesma função, ela não pode ser homogênea de um só grau. Uma forma simples é construir uma função peça-por-peça que mude de grau de homogeneidade em intervalos de escala distintos.
Passo 4
Exemplo unifatorial ilustrativo (suponha apenas um insumo
onde
(aumenta menos que proporcionalmente), e os constantes
são escolhidos para garantir continuidade de
em
e
.
- Para
e tal que , tem-se
ou seja, rendimentos crescentes.
- Para
e pequeno tal que ,
rendimentos constantes.
- Para
e ,
rendimentos decrescentes.]
Passo 5
Em termos econômicos, essa construção faz sentido:
- Pequena escala (
baixo): há especialização intensa e aproveitamento de indivisibilidades, gerando rendimentos crescentes. - Média escala: a firma já internalizou toda a tecnologia e variáveis aumentam proporcionalmente, gerando rendimentos constantes.
- Grande escala: surgem ineficiências gerenciais e de coordenação, gerando rendimentos decrescentes.
Resposta
Sim. Basta usar uma função de produção não homogênea, por exemplo em forma peça-por-peça com expoente de homogeneidade maior que 1 em baixas quantidades, igual a 1 em quantidades médias e menor que 1 em quantidades altas, o que reproduz crescentes, constantes e decrescentes retornos de escala em diferentes intervalos de produção.