Uma empresa poderia ter uma função de produção que exibisse rendimentos crescentes de escala, rendimentos constantes de escala e rendimentos decrescentes de escala, à medida que sua produção aumentasse? Discuta.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível ter uma mesma função de produção que, à medida que a escala de todos os fatores aumenta, apresente primeiro rendimentos crescentes de escala, depois constantes e finalmente decrescentes. O conteúdo é retornos de escala em teoria da firma, e vamos precisar da definição matemática de retornos de escala e de um exemplo de função não homogênea que mude de comportamento conforme a escala cresce.

Passo 2

Definição de retornos de escala: dado o vetor de fatores (K,L) e um escalar t>1, dizemos que
\begin{aligned} &\text{retornos crescentes de escala se }f(tK,tL) > t\,f(K,L),\\\ &\text{retornos constantes de escala se }f(tK,tL) = t\,f(K,L),\\\ &\text{retornos decrescentes de escala se }f(tK,tL) < t\,f(K,L). \end{aligned}
Observe que uma função homogênea de grau d satisfaz sempre f(tK,tL)=t^d f(K,L), logo fornece um único tipo de retorno de escala em toda escala (crescentes se d>1, constantes se d=1, decrescentes se d<1).

Passo 3

Para ter diferentes regimes de retornos de escala numa mesma função, ela não pode ser homogênea de um só grau. Uma forma simples é construir uma função peça-por-peça que mude de grau de homogeneidade em intervalos de escala distintos.

Passo 4

Exemplo unifatorial ilustrativo (suponha apenas um insumo x>0\) para simplificar): \[f(x)= \begin{cases} A\,x^{a_1},&0<x\le m,\\[6pt] B\,x^{1},&m<x\le M,\\[4pt] C\,x^{a_2},&x>M, \end{cases}
onde a_1>1\] (aumenta mais que proporcionalmente), \(a_2<1 (aumenta menos que proporcionalmente), e os constantes A,B,C são escolhidos para garantir continuidade de f em x=m e x=M.
  • Para x\le m e t>1 tal que tx\le m, tem-se
f(t x)=A\,(t x)^{a_1}=t^{a_1}A\,x^{a_1}>t\,A\,x^{a_1}=t\,f(x),
ou seja, rendimentos crescentes.
  • Para m<x\le M e t pequeno tal que tx\le M,
f(t x)=B\,(t x)=t\,(B\,x)=t\,f(x),
rendimentos constantes.
  • Para x>M e t>1,
f(t x)=C\,(t x)^{a_2}=t^{a_2}C\,x^{a_2}<t\,C\,x^{a_2}=t\,f(x),
rendimentos decrescentes.]

Passo 5

Em termos econômicos, essa construção faz sentido:
  • Pequena escala ( x baixo): há especialização intensa e aproveitamento de indivisibilidades, gerando rendimentos crescentes.
  • Média escala: a firma já internalizou toda a tecnologia e variáveis aumentam proporcionalmente, gerando rendimentos constantes.
  • Grande escala: surgem ineficiências gerenciais e de coordenação, gerando rendimentos decrescentes.

Resposta

Sim. Basta usar uma função de produção não homogênea, por exemplo em forma peça-por-peça com expoente de homogeneidade maior que 1 em baixas quantidades, igual a 1 em quantidades médias e menor que 1 em quantidades altas, o que reproduz crescentes, constantes e decrescentes retornos de escala em diferentes intervalos de produção.

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