Uma empresa que possui um grande número de lojas de supermercado afirma que consumidores que pagam com cheque pessoal gastam uma média de \mathrm{R} \ 87 em mercadorias nesses supermercados, com um desvio-padrão correspondente a Rã 22. Suponha que as despesas realizadas em supermercados, por parte de todos esses consumidores, nesses supermercados, sejam distribuídas nos moldes de uma distribuição normal.
Que percentagem de consumidores, que pagam com cheque, gasta entre R 40 e R 60 em mercadorias?

Passo 1

O enunciado nos dá que as despesas X de consumidores que pagam com cheque pessoal seguem uma distribuição normal com média \mu=87 e desvio-padrão \sigma=22. Precisamos calcular a porcentagem (probabilidade) de consumidores cujo gasto está entre 40 e 60. Para isso, vamos padronizar usando a variável normal padrão Z.

Passo 2

Calculamos os escores- Z correspondentes a X=40 e X=60 pela fórmula
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.
Para X=40:
Z_1 = \frac{40 - 87}{22} = \frac{-47}{22} \approx -2{,}1364.
Para X=60:
Z_2 = \frac{60 - 87}{22} = \frac{-27}{22} \approx -1{,}2273.

Passo 3

Vamos usar a função de distribuição acumulada \Phi(z) da normal padrão. Sabendo que
\Phi(-a)=1-\Phi(a), consultamos a tabela ou calculadora:
\Phi(1{,}23)\approx0{,}8907 e \Phi(2{,}14)\approx0{,}9838.
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\Phi(-1{,}2273) = 1 - \Phi(1{,}2273)\approx 1 - 0{,}8907 = 0{,}1093,
\Phi(-2{,}1364) = 1 - \Phi(2{,}1364)\approx 1 - 0{,}9838 = 0{,}0162.

Passo 4

A probabilidade pedida é
P(40 \le X \le 60) = P(Z_1 \le Z \le Z_2) = \Phi(-1{,}2273) - \Phi(-2{,}1364) \approx 0{,}1093 - 0{,}0162 = 0{,}0931.

Resposta

Aproximadamente 9{,}31\% dos consumidores que pagam com cheque gastam entre R$ 40 e R$ 60.

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