Uma empresa que possui um grande número de lojas de supermercado afirma que consumidores que pagam com cheque pessoal gastam uma média de \mathrm{R} \ 87 em mercadorias nesses supermercados, com um desvio-padrão correspondente a Rã 22. Suponha que as despesas realizadas em supermercados, por parte de todos esses consumidores, nesses supermercados, sejam distribuídas nos moldes de uma distribuição normal.
Que percentagem de consumidores, que pagam com cheque, gasta entre R 70 e R 105 em mercadorias?

Passo 1

O enunciado afirma que as despesas X de consumidores que pagam com cheque seguem uma distribuição normal com média \mu=87 e desvio-padrão \sigma=22. Queremos a proporção de consumidores cujo gasto está entre R \(70 e R) 105. Para isso, vamos usar a padronização da variável normal e tabelas (ou calculadora) da normal padrão.

Passo 2

Escrevemos a probabilidade desejada em termos de X e depois em termos de Z\sim N(0,1):
\Pr(70 \le X \le 105) = \Pr\Bigl(\frac{70-87}{22} \le Z \le \frac{105-87}{22}\Bigr).

Passo 3

Calculamos os valores de z:
z_1 = \frac{70-87}{22} = \frac{-17}{22}\approx -0,773, \quad z_2 = \frac{105-87}{22} = \frac{18}{22}\approx 0,818.

Passo 4

Da tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos:
\Phi(0,818)\approx 0,7934, \quad \Phi(-0,773)=1 - \Phi(0,773)\approx 1 - 0,7808 = 0,2192.
Logo,
\Pr(70 \le X \le 105) = \Phi(0,818) - \Phi(-0,773) \approx 0,7934 - 0,2192 = 0,5742.

Resposta

Aproximadamente 57{,}4\% dos consumidores gastam entre R \(70 e R) 105.

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