Um equipamento na Kasem Steel Corporation fabrica barras de ferro que devem, supostamente, ter 50 cm de comprimento. Entretanto, o equipamento não fabrica todas as barras exatamente com o mesmo comprimento. É sabido que a distribuição de probabilidades dos comprimentos de barras de ferro fabricadas nesse equipamento é normal, com uma média aritmética de 50 cm e um desviopadrão de 0,06 \mathrm{~cm}. As barras que sejam menores do que 49,85 \mathrm{~cm} ou maiores que 50,15 \mathrm{~cm} são descartadas. Que percentagem das barras fabricadas nesse equipamento são descartadas?

Passo 1

O enunciado diz que os comprimentos X das barras são distribuídos segundo uma normal com média \mu=50{,}00 cm e desvio-padrão \sigma=0{,}06 cm. Barras com X<49{,}85 cm ou X>50{,}15 cm são descartadas. Precisamos calcular a percentagem de barras descartadas, isto é,
P(X<49{,}85)+P(X>50{,}15).

Passo 2

Para cada evento de rejeição, vamos usar a distribuição normal padrão. Definimos
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}
que tem Z\sim N(0,1). Assim
P(X<49{,}85) = P\Bigl(Z<\frac{49{,}85 - 50{,}00}{0{,}06}\Bigr),
P(X>50{,}15) = P\Bigl(Z>\frac{50{,}15 - 50{,}00}{0{,}06}\Bigr).

Passo 3

Calculamos os valores de z nas duas pontas:
z_1 = \frac{49{,}85 - 50{,}00}{0{,}06} = \frac{-0{,}15}{0{,}06} = -2{,}5,
z_2 = \frac{50{,}15 - 50{,}00}{0{,}06} = \frac{0{,}15}{0{,}06} = 2{,}5.

Passo 4

Usando a simetria da normal padrão e tabelas ou calculadora:
P(Z< -2{,}5) = P(Z>2{,}5).
Denotando \Phi(z) a função de distribuição de N(0,1), temos
P(Z>2{,}5) = 1 - \Phi(2{,}5)\approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062.

Passo 5

A probabilidade total de descarte é
P(X<49{,}85)+P(X>50{,}15) = P(Z<-2{,}5)+P(Z>2{,}5) = 2\,P(Z>2{,}5) \approx 2\times0{,}0062 = 0{,}0124.

Resposta

Aproximadamente 1{,}24\% das barras são descartadas.

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