Ao ganhador de um prêmio foram dadas as seguintes opções: receber \ 1.000 .000 à vista ou 150.000 por ano durante 10 anos. Qual a taxa de juros deixaria essa pessoa indiferente entre as duas opções? Esta taxa é pouco maior que sua TMA, que é deàçõéé8 %$ a.a.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Opção A: receber à vista \$\,1.000.000.
  • Opção B: receber \$\,150.000 por ano, durante 10 anos (pagamentos anuais no fim de cada ano).
  • Pergunta: qual a taxa de juros anual i que deixa as duas opções indiferentes (ou seja, cujo valor presente das duas opções é o mesmo)?
  • Observação do enunciado: a taxa procurada é um pouco maior que a TMA de 8\% a.a.

Passo 2

Modelo financeiro e notação (explicando o que cada símbolo significa):
  • Seja i a taxa de juros anual (a procurar).
  • O fator de desconto por um período é v=\dfrac{1}{1+i}. Ele transforma um valor futuro em valor presente.
  • O valor presente de um pagamento de X no fim do ano k é X\cdot v^{k}.
  • O valor presente da série de pagamentos iguais X por n anos (anuidades ordinárias, pagamentos no fim de cada ano) é
\text{PV} = X\sum_{k=1}^{n}v^{k}.
Agora vou deduzir a fórmula fechada dessa soma geométrica (é uma conta padrão que vale a pena entender).

Passo 3

Derivação da fórmula do valor presente da anuidade (soma geométrica), passo a passo:
  • Defina S=\sum_{k=1}^{n}v^{k}=v+v^{2}+v^{3}+\cdots+v^{n}.
  • Multiplique ambos os lados por 1-v:
(1-v)S = S - vS = (v+v^{2}+\cdots+v^{n}) - (v^{2}+v^{3}+\cdots+v^{n+1}) = v - v^{n+1}.
  • Portanto
S=\frac{v - v^{n+1}}{1-v}.
  • Como v=\dfrac{1}{1+i}, nota-se que 1-v=\dfrac{i}{1+i} e v-v^{n+1}=v(1-v^{n}). Substituindo e simplificando obtemos a forma muito usada:
\sum_{k=1}^{n}v^{k}=\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
  • Em palavras: o fator de valor presente de uma anuidade de n pagamentos com taxa i é \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.

Passo 4

Montando a equação que iguala as duas opções:
  • Valor presente da opção B (anuidades): 150.000 vezes o fator de anuidade com n=10:
\text{PV}_B = 150.000\cdot\frac{1-(1+i)^{-10}}{i}.
  • Indiferença entre A e B significa
1.000.000 = 150.000\cdot\frac{1-(1+i)^{-10}}{i}.
  • Dividindo ambos os lados por 150.000 para simplificar:
\frac{1.000.000}{150.000} = \frac{1-(1+i)^{-10}}{i}.
  • Reduzindo a fração à esquerda:
\frac{1.000.000}{150.000}=\frac{20}{3}\approx 6,6666667.
Assim precisamos encontrar i tal que
\frac{1-(1+i)^{-10}}{i}=\frac{20}{3}.

Passo 5

Comentários sobre existência/unicidade e estratégia numérica:
  • A função a_{10}(i)=\dfrac{1-(1+i)^{-10}}{i} é estritamente decrescente em i>0. Portanto existe uma única taxa i>0 que resolve a equação.
  • Método prático: testar valores próximos a 8\% (já que a resposta deve ser pouco maior que 8\%), calcular o lado esquerdo e usar interpolação (ou uma iteração) para encontrar i. Vou fazer testes em 8{,}0\%, 8{,}1\% e 8{,}2\% e interpolar.

Passo 6

Avaliação em i=8\% ( i=0,08):
  • Calcular 1{,}08^{10} por potências sucessivas:
    • 1{,}08^{2}=1{,}1664.
    • 1{,}08^{4}=(1{,}1664)^{2}\approx1{,}360489.
    • 1{,}08^{5}=1{,}08\cdot1{,}08^{4}\approx1{,}469328.
    • 1{,}08^{10}=(1{,}08^{5})^{2}\approx(1{,}469328)^{2}\approx2{,}158925.
  • Assim (1+i)^{-10}=(1{,}08)^{-10}\approx\dfrac{1}{2{,}158925}\approx0{,}463193.
  • O fator de anuidade:
\frac{1-(1{,}08)^{-10}}{0{,}08}=\frac{1-0{,}463193}{0{,}08}=\frac{0{,}536807}{0{,}08}\approx6{,}71009.
  • Comparando com a meta \dfrac{20}{3}\approx6{,}6666667: o valor em 8\% 6{,}71009>6{,}6666667. Como o fator de anuidade decresce com i, isso significa que a taxa buscada é maior que 8\%.

Passo 7

Avaliação em i=8{,}2\% ( i=0{,}082):
  • Usando aproximação (método análogo, ou logaritmos para cálculo rápido), encontra-se
    • 1{,}082^{10}\approx2{,}1989 (cálculo por potências ou por ln).
    • Logo (1{,}082)^{-10}\approx\dfrac{1}{2{,}1989}\approx0{,}4546.
  • O fator de anuidade:
\frac{1-(1{,}082)^{-10}}{0{,}082}=\frac{1-0{,}4546}{0{,}082}=\frac{0{,}5454}{0{,}082}\approx6{,}651.
  • Comparando: 6{,}651<6{,}6666667. Portanto a taxa procurada está entre 8{,}0\% e 8{,}2\%.

Passo 8

Interpolação linear simples para refinar a taxa (estimação prática):
  • Temos dois pontos (i,a_{10}(i)):
    • i_{1}=0{,}08 a_{1}\approx6{,}71009.
    • i_{2}=0{,}082 a_{2}\approx6{,}651.
  • Queremos a^*=\dfrac{20}{3}\approx6{,}6666667. Fazendo interpolação linear:
i \approx i_{1} + (i_{2}-i_{1})\cdot\frac{a_{1}-a^{*}}{a_{1}-a_{2}}.
  • Substituindo números:
i \approx 0{,}08 + 0{,}002\cdot\frac{6{,}71009-6{,}6666667}{6{,}71009-6{,}651} =0{,}08 + 0{,}002\cdot\frac{0{,}0434233}{0{,}05909}\approx 0{,}08 + 0{,}002\cdot0{,}7347.
i \approx 0{,}08 + 0{,}001469\approx 0{,}081469.
  • Assim obtemos uma boa estimativa numérica para a taxa i (a precisão é suficiente para decisão prática na prova).

Passo 9

Interpretação final (motivação e checagem rápida):
  • A estimativa i\approx0{,}08147 corresponde a cerca de 8{,}147\% a.a., que é de fato “pouco maior” que a TMA de 8\% mencionada no enunciado.
  • Se for preciso mais precisão, pode-se fazer uma iteração de Newton ou refinar a interpolação usando valores mais próximos; mas para uma prova é suficiente apresentar a equação, testar 8\% e 8{,}2\% e interpolar como fizemos.

Resposta

i \approx 8{,}15\%\\ \text{a.a.}

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