Ao ganhador de um prêmio foram dadas as seguintes opções: receber
1.000 .000
8 %$ a.a.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Opção A: receber à vista
. - Opção B: receber
por ano, durante 10 anos (pagamentos anuais no fim de cada ano). - Pergunta: qual a taxa de juros anual
que deixa as duas opções indiferentes (ou seja, cujo valor presente das duas opções é o mesmo)? - Observação do enunciado: a taxa procurada é um pouco maior que a TMA de
a.a.
Passo 2
Modelo financeiro e notação (explicando o que cada símbolo significa):
- Seja
a taxa de juros anual (a procurar). - O fator de desconto por um período é
. Ele transforma um valor futuro em valor presente. - O valor presente de um pagamento de
no fim do ano é . - O valor presente da série de pagamentos iguais
por anos (anuidades ordinárias, pagamentos no fim de cada ano) é
Agora vou deduzir a fórmula fechada dessa soma geométrica (é uma conta padrão que vale a pena entender).
Passo 3
Derivação da fórmula do valor presente da anuidade (soma geométrica), passo a passo:
- Defina
. - Multiplique ambos os lados por
:
- Portanto
- Como
, nota-se que e . Substituindo e simplificando obtemos a forma muito usada:
- Em palavras: o fator de valor presente de uma anuidade de
pagamentos com taxa é .
Passo 4
Montando a equação que iguala as duas opções:
- Valor presente da opção B (anuidades):
vezes o fator de anuidade com :
- Indiferença entre A e B significa
- Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
- Reduzindo a fração à esquerda:
Assim precisamos encontrar
tal que
Passo 5
Comentários sobre existência/unicidade e estratégia numérica:
- A função
é estritamente decrescente em . Portanto existe uma única taxa que resolve a equação. - Método prático: testar valores próximos a
(já que a resposta deve ser pouco maior que ), calcular o lado esquerdo e usar interpolação (ou uma iteração) para encontrar . Vou fazer testes em , e e interpolar.
Passo 6
Avaliação em
(
):
- Calcular
por potências sucessivas: -
. -
. -
. -
.
-
- Assim
. - O fator de anuidade:
- Comparando com a meta
: o valor em dá . Como o fator de anuidade decresce com , isso significa que a taxa buscada é maior que .
Passo 7
Avaliação em
(
):
- Usando aproximação (método análogo, ou logaritmos para cálculo rápido), encontra-se
-
(cálculo por potências ou por ln). - Logo
.
-
- O fator de anuidade:
- Comparando:
. Portanto a taxa procurada está entre e .
Passo 8
Interpolação linear simples para refinar a taxa (estimação prática):
- Temos dois pontos
: -
dá . -
dá .
-
- Queremos
. Fazendo interpolação linear:
- Substituindo números:
- Assim obtemos uma boa estimativa numérica para a taxa
(a precisão é suficiente para decisão prática na prova).
Passo 9
Interpretação final (motivação e checagem rápida):
- A estimativa
corresponde a cerca de a.a., que é de fato “pouco maior” que a TMA de mencionada no enunciado. - Se for preciso mais precisão, pode-se fazer uma iteração de Newton ou refinar a interpolação usando valores mais próximos; mas para uma prova é suficiente apresentar a equação, testar
e e interpolar como fizemos.