Encontre
, sendo
, em seguida encontre a reta tangente a esta curva no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos encontrar a derivada
, que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. Depois, vamos usar essa derivada para encontrar a reta tangente à curva no ponto onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a derivação. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos
, usamos a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, queremos isolar
. Vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
, precisamos encontrar a reta tangente à curva no ponto onde
. Primeiro, vamos achar o valor de
nesse ponto substituindo
na equação original.
Substituindo
em
:
Então, temos dois pontos possíveis:
e
.
Passo 6
Vamos encontrar a derivada
em cada um desses pontos.
Para
:
Para
:
Em ambos os casos, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 7
Com a inclinação
e os pontos
e
, podemos escrever as equações das retas tangentes usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
:
Para
:
Para
:
Resposta
A derivada é
. As retas tangentes à curva no ponto
são
e
.