Encontre d/y d/x, sendo x^2 + y^2 = 2 * x, em seguida encontre a reta tangente a esta curva no ponto x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada , que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. Depois, vamos usar essa derivada para encontrar a reta tangente à curva no ponto onde .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a derivação. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos , usamos a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos , precisamos encontrar a reta tangente à curva no ponto onde . Primeiro, vamos achar o valor de nesse ponto substituindo na equação original.
Substituindo em :
Então, temos dois pontos possíveis: e .

Passo 6

Vamos encontrar a derivada em cada um desses pontos.
Para :
Para :
Em ambos os casos, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e os pontos e , podemos escrever as equações das retas tangentes usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo :
Para :
Para :

Resposta

A derivada é . As retas tangentes à curva no ponto são e .

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