Encontre os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções a seguir:
No item anterior, quando identificar os pontos críticos e classificá-los, determine as regiões de crescimento e decrescimento.
No item anterior, quando identificar os pontos críticos e classificá-los, determine as regiões de crescimento e decrescimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo na função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de crescimento e decrescimento. Vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero para identificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada é um polinômio, que está sempre definida, então vamos apenas resolver:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada ou verificar o sinal da primeira derivada em torno desses pontos. Vamos usar o teste da segunda derivada aqui.
A segunda derivada da função é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Isso indica que a função tem um mínimo em
.
- Para
:
Isso indica que a função tem um máximo em
.
Passo 7
Agora, vamos determinar as regiões onde a função está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos analisar o sinal da primeira derivada
:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Sabemos que a derivada é
. Vamos identificar os intervalos:
- Para
:
Então, a função está crescendo nesse intervalo.
- Para
:
Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Para
:
Então, a função está crescendo novamente nesse intervalo.
Resposta
A função
possui um máximo em
e um mínimo em
. Ela está crescendo nos intervalos
e
, e decrescendo no intervalo
.