Encontre os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções a seguir:
y = x^3 - 9x
No item anterior, quando identificar os pontos críticos e classificá-los, determine as regiões de crescimento e decrescimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo na função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de crescimento e decrescimento. Vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero para identificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada é um polinômio, que está sempre definida, então vamos apenas resolver:

Passo 4

Resolvendo a equação :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada ou verificar o sinal da primeira derivada em torno desses pontos. Vamos usar o teste da segunda derivada aqui.
A segunda derivada da função é:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
Isso indica que a função tem um mínimo em .
  • Para :
Isso indica que a função tem um máximo em .

Passo 7

Agora, vamos determinar as regiões onde a função está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos analisar o sinal da primeira derivada :
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Sabemos que a derivada é . Vamos identificar os intervalos:
  • Para :
Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para :
Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para :
Então, a função está crescendo novamente nesse intervalo.

Resposta

A função possui um máximo em e um mínimo em . Ela está crescendo nos intervalos e , e decrescendo no intervalo .

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