Uma empresa produz lâmpadas com uma taxa de defeito de 2%. Se uma amostra de 100 lâmpadas for selecionada, qual a probabilidade de encontrar no máximo 3 lâmpadas defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que uma empresa fabrica lâmpadas com uma taxa de defeito de 2%. Precisamos descobrir qual a probabilidade de, ao selecionar 100 lâmpadas, encontrar no máximo 3 defeituosas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de eventos que têm duas possibilidades (como defeito ou não defeito) em uma série de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da Distribuição Binomial:
  • n é o número total de tentativas ou, no nosso caso, o número de lâmpadas selecionadas. Aqui, n = 100.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, ou seja, a taxa de defeito. Aqui, p = 0,02 (2%).

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente k lâmpadas defeituosas.
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k defeitos entre n lâmpadas.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de encontrar no máximo 3 lâmpadas defeituosas, precisamos calcular:
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
Vamos calcular cada um desses termos usando a fórmula da Distribuição Binomial.

Passo 5

Vamos calcular $ P(X=0) $:
P(X=0)
Calculando $ (0,98)^{100} $, obtemos aproximadamente 0,1326.

Passo 6

Agora, $ P(X=1) $:
P(X=1)
Calculando, temos aproximadamente 0,2701.

Passo 7

Em seguida, $ P(X=2) $:
P(X=2)
Isso resulta em aproximadamente 0,2734.

Passo 8

Por fim, $ P(X=3) $:
P(X=3)
Calculando, obtemos cerca de 0,1801.

Passo 9

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(X <= 3) = 0,1326 + 0,2701 + 0,2734 + 0,1801 = 0,8562

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 3 lâmpadas defeituosas em uma amostra de 100 é aproximadamente 85,62%.

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