Uma empresa produz lâmpadas com uma taxa de defeito de 2%. Se uma amostra de 100 lâmpadas for selecionada, qual a probabilidade de encontrar no máximo 3 lâmpadas defeituosas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que uma empresa fabrica lâmpadas com uma taxa de defeito de 2%. Precisamos descobrir qual a probabilidade de, ao selecionar 100 lâmpadas, encontrar no máximo 3 defeituosas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de eventos que têm duas possibilidades (como defeito ou não defeito) em uma série de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os parâmetros da Distribuição Binomial:
- n é o número total de tentativas ou, no nosso caso, o número de lâmpadas selecionadas. Aqui, n = 100.
- p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, ou seja, a taxa de defeito. Aqui, p = 0,02 (2%).
Passo 3
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente k lâmpadas defeituosas.
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k defeitos entre n lâmpadas.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de encontrar no máximo 3 lâmpadas defeituosas, precisamos calcular:
Vamos calcular cada um desses termos usando a fórmula da Distribuição Binomial.
Passo 5
Vamos calcular $ P(X=0) $:
Calculando $ (0,98)^{100} $, obtemos aproximadamente 0,1326.
Passo 6
Agora, $ P(X=1) $:
Calculando, temos aproximadamente 0,2701.
Passo 7
Em seguida, $ P(X=2) $:
Isso resulta em aproximadamente 0,2734.
Passo 8
Por fim, $ P(X=3) $:
Calculando, obtemos cerca de 0,1801.
Passo 9
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de encontrar no máximo 3 lâmpadas defeituosas em uma amostra de 100 é aproximadamente 85,62%.