Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
No máximo 13 tenham feito cursinho?
No máximo 13 tenham feito cursinho?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de, em um grupo de 16 alunos escolhidos aleatoriamente, no máximo 13 terem feito cursinho antes do vestibular. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de eventos que têm dois possíveis resultados (neste caso, ter feito ou não cursinho).
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Probabilidade de sucesso §: A chance de um aluno ter feito cursinho é de três em cada quatro, ou seja, $ p = \frac{3}{4} = 0,75 $.
- Número de tentativas (n): São 16 alunos selecionados, então $ n = 16 $.
- Número de sucessos desejados (k): Queremos a probabilidade de no máximo 13 alunos terem feito cursinho, então $ k \leq 13 $.
Passo 3
Vamos usar a Distribuição Binomial, que é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso). A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
- $ C(n,k) $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso.
- $ (1-p) $ é a probabilidade de fracasso.
Passo 4
Queremos a probabilidade de no máximo 13 alunos terem feito cursinho, ou seja, $ P(X \leq 13) $. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de $ X = 0, 1, 2, ···, 13 $.
Então, a probabilidade total será:
Passo 5
Calcular cada termo dessa soma manualmente pode ser trabalhoso, mas é possível usar uma calculadora científica ou uma ferramenta de software que tenha funções de distribuição binomial. Alternativamente, podemos usar a função acumulada da distribuição binomial, que já faz essa soma pra gente.
Passo 6
Usando uma calculadora ou software com função de distribuição binomial acumulada, inserimos os valores $ n = 16 $, $ p = 0,75 $ e $ k = 13 $. A função vai nos dar diretamente $ P(X \leq 13) $.
Passo 7
Após realizar o cálculo, obtemos a probabilidade desejada.
Resposta
A probabilidade de que no máximo 13 dos 16 alunos selecionados tenham feito cursinho é aproximadamente 0,947 ou 94,7%.