A taxa média de pousos em um aeroporto é de 3 por minuto. Qual a probabilidade de ocorrerem pelo menos 5 pousos em um intervalo de 2 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um aeroporto onde, em média, aterrissam 3 aviões por minuto. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um intervalo de 2 minutos, aterrissarem pelo menos 5 aviões?
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a taxa média para o período de 2 minutos. Se em 1 minuto a média é de 3 pousos, em 2 minutos será:
lambda = 3 pousos/minuto times 2 minutos = 6 pousos

Passo 3

A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
  • $ e $ é a constante de Euler (~2.71828),
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos,
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 4

Queremos a probabilidade de pelo menos 5 pousos em 2 minutos, ou seja, $ P(k \geq 5) $. É mais fácil calcular isso subtraindo da probabilidade total (1) a probabilidade de ocorrerem menos de 5 pousos (ou seja, de 0 a 4 pousos):
P(k >= 5)

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
P(0) = e^-6 times 6^00! = e^-6 times 1 / 1 = e^-6 approx 0.002478
P(1) = e^-6 times 6^11! = e^-6 times 6 / 1 approx 0.014869
P(2) = e^-6 times 6^22! = e^-6 times 36 / 2 = e^-6 times 18 approx 0.044616
P(3) = e^-6 times 6^33! = e^-6 times 216 / 6 = e^-6 times 36 approx 0.089232
P(4) = e^-6 times 6^44! = e^-6 times 1296 / 24 = e^-6 times 54 approx 0.133849

Passo 6

Somando essas probabilidades:
P(k < 5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) approx 0.002478 + 0.014869 + 0.044616 + 0.089232 + 0.133849 approx 0.284044

Resposta

Portanto, a probabilidade de ocorrerem pelo menos 5 pousos em um intervalo de 2 minutos é:
P(k >= 5) = 1 - 0.284044 approx 0.715956 ou 71,6%

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