Em um jogo de dados, qual a probabilidade de obter um número par em pelo menos 4 dos 6 lançamentos?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um jogo de dados onde vamos lançar um dado 6 vezes. Queremos saber qual é a probabilidade de obter um número par em pelo menos 4 desses 6 lançamentos.
Matéria envolvida: Probabilidade, especificamente distribuição binomial.
O que vamos precisar: Entender o conceito de probabilidade em eventos independentes e como calcular a probabilidade de eventos específicos acontecerem múltiplas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos números pares existem em um dado comum. Um dado tem 6 faces numeradas de 1 a 6. Os números pares são 2, 4 e 6. Então, há 3 números pares.

Passo 3

A probabilidade de obter um número par em um único lançamento do dado é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de possíveis resultados.
P(par) = 36 = 12
Então, cada lançamento tem 50% de chance de resultar em um número par.

Passo 4

Como estamos lançando o dado 6 vezes, queremos saber a probabilidade de obter pelo menos 4 números pares. Isso significa que podemos ter:
  • 4 números pares
  • 5 números pares
  • 6 números pares
Vamos calcular a probabilidade para cada um desses casos e depois somá-las.

Passo 5

A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de um número específico de sucessos em uma série de experimentos independentes. A fórmula é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso (número par).
  • $ n $ é o número total de experimentos (lançamentos).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 6

Vamos calcular cada uma das probabilidades:
  1. Para 4 números pares:
C(6, 4) = 6!4! times (6-4)! = 15
P(4) = 15 times (12)^4 times (12)^2 = 15 times 116 times 14 = 1564
  1. Para 5 números pares:
C(6, 5) = 6!5! times (6-5)! = 6
P(5) = 6 times (12)^5 times (12)^1 = 6 times 132 times 12 = 664
  1. Para 6 números pares:
C(6, 6) = 6!6! times (6-6)! = 1
P(6) = 1 times (12)^6 times (12)^0 = 1 times 164 times 1 = 164

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade de obter pelo menos 4 números pares em 6 lançamentos:
P(pelo menos 4 pares) = P(4) + P(5) + P(6)
P(pelo menos 4 pares) = 1564 + 664 + 164 = 2264
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 2:
2264 = 1132

Resposta

A probabilidade de obter um número par em pelo menos 4 dos 6 lançamentos é 1132.

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