Em um jogo de dados, qual a probabilidade de obter um número par em pelo menos 4 dos 6 lançamentos?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um jogo de dados onde vamos lançar um dado 6 vezes. Queremos saber qual é a probabilidade de obter um número par em pelo menos 4 desses 6 lançamentos.
Matéria envolvida: Probabilidade, especificamente distribuição binomial.
O que vamos precisar: Entender o conceito de probabilidade em eventos independentes e como calcular a probabilidade de eventos específicos acontecerem múltiplas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos números pares existem em um dado comum. Um dado tem 6 faces numeradas de 1 a 6. Os números pares são 2, 4 e 6. Então, há 3 números pares.
Passo 3
A probabilidade de obter um número par em um único lançamento do dado é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de possíveis resultados.
Então, cada lançamento tem 50% de chance de resultar em um número par.
Passo 4
Como estamos lançando o dado 6 vezes, queremos saber a probabilidade de obter pelo menos 4 números pares. Isso significa que podemos ter:
- 4 números pares
- 5 números pares
- 6 números pares
Vamos calcular a probabilidade para cada um desses casos e depois somá-las.
Passo 5
A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de um número específico de sucessos em uma série de experimentos independentes. A fórmula é:
Onde:
- $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso (número par).
- $ n $ é o número total de experimentos (lançamentos).
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
Passo 6
Vamos calcular cada uma das probabilidades:
- Para 4 números pares:
- Para 5 números pares:
- Para 6 números pares:
Passo 7
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade de obter pelo menos 4 números pares em 6 lançamentos:
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 2:
Resposta
A probabilidade de obter um número par em pelo menos 4 dos 6 lançamentos é
.