Uma empresa produz lâmpadas, e o tempo de vida útil de cada lâmpada (em horas) tem média mu=1000 horas e desvio padrão sigma=100 horas. Sabendo que a produção de
lâmpadas segue uma distribuição com distribuição desconhecida, mas sem fazer suposições sobre a forma da distribuição, utilize a desigualdade de Tchebycheff para calcular qual é o valor máximo da probabilidade de que o tempo de vida útil de uma lâmpada esteja fora do intervalo de 800 a 1200 horas? 2 pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida útil das lâmpadas de uma empresa. A média desse tempo é mu = 1000 horas e o desvio padrão é sigma = 100 horas. A gente sabe que a distribuição desse tempo é desconhecida, ou seja, não sabemos exatamente como os tempos estão distribuídos. Nosso objetivo é usar a Desigualdade de Tchebychev para descobrir a máxima probabilidade de que uma lâmpada tenha a vida útil fora do intervalo de 800 a 1200 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o intervalo que estamos analisando: de 800 a 1200 horas. Isso significa que estamos olhando para uma faixa que é 200 horas abaixo e acima da média de 1000 horas. Como o desvio padrão é 100 horas, cada lado desse intervalo representa 2 desvios padrão ( 200 / 100 = 2). Então, estamos falando de k = 2 na Desigualdade de Tchebychev.

Passo 3

A Desigualdade de Tchebychev nos diz que, para qualquer distribuição, a probabilidade de um valor estar a mais de k desvios padrão da média é no máximo 1k^2. A fórmula fica assim:
P(|X - mu| >= ksigma) <= 1k^2

Passo 4

Vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Sabemos que k = 2, então substituindo na fórmula:
P(|X - 1000| >= 2 times 100) <= 12^2 = 14

Passo 5

Simplificando, 14 é igual a 0,25, o que corresponde a 25%. Isso significa que, no máximo, 25% das lâmpadas terão uma vida útil fora do intervalo de 800 a 1200 horas.

Resposta

A probabilidade máxima de que o tempo de vida útil de uma lâmpada esteja fora do intervalo de 800 a 1200 horas é 25%.

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