Uma empresa produz lâmpadas, e o tempo de vida útil de cada lâmpada (em horas) tem média
horas e desvio padrão
horas. Sabendo que a produção de
lâmpadas segue uma distribuição com distribuição desconhecida, mas sem fazer suposições sobre a forma da distribuição, utilize a desigualdade de Tchebycheff para calcular qual é o valor máximo da probabilidade de que o tempo de vida útil de uma lâmpada esteja fora do intervalo de 800 a 1200 horas? 2 pontos
lâmpadas segue uma distribuição com distribuição desconhecida, mas sem fazer suposições sobre a forma da distribuição, utilize a desigualdade de Tchebycheff para calcular qual é o valor máximo da probabilidade de que o tempo de vida útil de uma lâmpada esteja fora do intervalo de 800 a 1200 horas? 2 pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida útil das lâmpadas de uma empresa. A média desse tempo é
horas e o desvio padrão é
horas. A gente sabe que a distribuição desse tempo é desconhecida, ou seja, não sabemos exatamente como os tempos estão distribuídos. Nosso objetivo é usar a Desigualdade de Tchebychev para descobrir a máxima probabilidade de que uma lâmpada tenha a vida útil fora do intervalo de 800 a 1200 horas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o intervalo que estamos analisando: de 800 a 1200 horas. Isso significa que estamos olhando para uma faixa que é
horas abaixo e acima da média de
horas. Como o desvio padrão é
horas, cada lado desse intervalo representa
desvios padrão (
). Então, estamos falando de
na Desigualdade de Tchebychev.
Passo 3
A Desigualdade de Tchebychev nos diz que, para qualquer distribuição, a probabilidade de um valor estar a mais de
desvios padrão da média é no máximo
. A fórmula fica assim:
Passo 4
Vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Sabemos que
, então substituindo na fórmula:
Passo 5
Simplificando,
é igual a
, o que corresponde a
. Isso significa que, no máximo,
das lâmpadas terão uma vida útil fora do intervalo de 800 a 1200 horas.
Resposta
A probabilidade máxima de que o tempo de vida útil de uma lâmpada esteja fora do intervalo de 800 a 1200 horas é 25%.