Você deve ler cada uma das afirmações abaixo e indicar se ela é Verdadeira (V), Falsa (F) ou Anulada (A). 4 pontos
Importante:
  • Para cada resposta correta, você ganha um ponto.
  • Para cada resposta errada, você perde um ponto.
  • Se optar por Anular (A), a resposta não conta como certa nem como errada, e não afeta sua pontuação.
    a) Sejam X1, X2, ldots, Xn variáveis aleatórias independentes, todas com a mesma distribuição, com média mu e variância sigma^2. Considere que Xn=sumi=1^n Xin. Pelo Teorema do Limite Central, para n suficientemente grande, variável Zn=Xn-munraizn tem distribuição aproximadamente normal, com média mu e variância sigma^2 / n. (_ )
    b) Suponha que X1, X2, ldots, Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e que P(X1=x)=1 / 11, x=1,2, ldots, 11. Então, pela Lei dos Grandes Números, à medida que n 11, barX=sumi=1^n Xin converge para 6. (ـ)
    c) Se Y é uma variável aleatória tal que E[Y^2]<infty, então podemos afirmar que P(|Y| >= c) <= E[Y]c^2, para c>0. (—)
    d) Se a variável X=ln Y segue uma distribuição Normal, então, Y segue uma distribuição Lognormal. ( )

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício que pede pra analisar quatro afirmações sobre estatística e probabilidade. O conteúdo envolve Teorema do Limite Central, Lei dos Grandes Números, desigualdades de probabilidade e distribuições Normal e Lognormal. Vamos precisar entender cada um desses conceitos para julgar se as afirmações são verdadeiras, falsas ou anuladas.

Passo 2

Afirmação a)
A afirmação fala sobre o Teorema do Limite Central (TLC). Primeiro, a gente tem Xn = sumi=1^n Xin , que é a média das variáveis aleatórias Xi . O TLC diz que, para n grande, essa média, devidamente padronizada, segue aproximadamente uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2n .
Agora, a expressão dada é Zn = Xn - munraizn . Simplificando o denominador, temos nraizn = raizn . Então, Zn = Xn - muraizn .
Segundo o TLC, a padronização correta seria Xn - musigmaraizn . Na afirmação, falta o sigma no denominador, além de uma confusão na expressão.
Portanto, a afirmação está Falsa.

Passo 3

Afirmação b)
Aqui, temos X1, X2, ldots, Xn sendo variáveis independentes e identicamente distribuídas, cada uma com P(X1=x) = 111 para x = 1, 2, ldots, 11 . Isso significa que cada Xi segue uma distribuição uniforme discreta de 1 a 11, com média mu = 6 (pois a média de números de 1 a 11 é 6).
A Lei dos Grandes Números (LGN) diz que, à medida que n tende ao infinito, a média barX = sumi=1^n Xin converge quase certamente para mu .
No entanto, a afirmação diz que n 11 , o que não faz sentido, pois na LGN a tendência é n infty .
Portanto, a afirmação está Falsa.

Passo 4

Afirmação c)
A afirmação apresenta uma desigualdade envolvendo uma variável aleatória Y com E[Y^2] < infty . A inequação dada é P(|Y| >= c) <= E[Y]c^2 .
Isso parece tentar aplicar a desigualdade de Chebyshev, que na verdade é P(|Y - mu| >= c) <= sigma^2c^2 , onde mu = E[Y] e sigma^2 = Var(Y) .
Além disso, a desigualdade de Chebyshev usa a variância, não apenas o valor esperado. Portanto, a afirmação está incorreta.
Portanto, a afirmação está Falsa.

Passo 5

Afirmação d)
A afirmação diz que se X = ln Y segue uma distribuição Normal, então Y segue uma distribuição Lognormal.
Por definição, se X é normalmente distribuído, então Y = e^X segue uma distribuição Lognormal. Portanto, a afirmação está correta.
Portanto, a afirmação está Verdadeira.

Resposta

a) F
b) F
c) F
d) V

Exercícios relacionados