Uma empresa recebe pedidos de entrega de mercadorias, e o tempo entre dois pedidos consecutivos segue uma distribuição exponencial com média de 5 horas, dada por:
. A empresa deseja saber a probabilidade de que o tempo médio entre 50 pedidos seja maior que 5,5 horas. Dica: Em uma Exponencial a média e variância são respectivamente
pontos
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa que recebe pedidos de entrega, e o tempo entre dois pedidos consecutivos segue uma distribuição exponencial com média de 5 horas. A função de densidade dessa distribuição é dada por:
O que precisamos descobrir é a probabilidade de que o tempo médio entre 50 pedidos seja maior que 5,5 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição exponencial e à média amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição exponencial. Sabemos que a média (
) de uma distribuição exponencial é dada por:
E a variância (
) é:
Como a média é 5 horas, podemos encontrar
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média de 50 pedidos seja maior que 5,5 horas. Vamos chamar essa média de
. Para uma amostra grande, podemos usar o Teorema Central do Limite, que nos permite aproximar a distribuição da média amostral por uma distribuição normal.
A média da média amostral (
) é igual à média da população, que já sabemos ser 5 horas. A variância da média amostral (
) é dada por:
Portanto, o desvio padrão da média amostral é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar:
Para isso, vamos calcular o valor de
correspondente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o valor de
, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá
, então queremos:
Consultando a tabela, encontramos que:
Então:
Resposta
A probabilidade de que o tempo médio entre 50 pedidos seja maior que 5,5 horas é de aproximadamente 24%.