Uma empresa recebe pedidos de entrega de mercadorias, e o tempo entre dois pedidos consecutivos segue uma distribuição exponencial com média de 5 horas, dada por: f(x)=lambda e^-lambda x. A empresa deseja saber a probabilidade de que o tempo médio entre 50 pedidos seja maior que 5,5 horas. Dica: Em uma Exponencial a média e variância são respectivamente 1lambda e=1lambda^2 2 pontos

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa que recebe pedidos de entrega, e o tempo entre dois pedidos consecutivos segue uma distribuição exponencial com média de 5 horas. A função de densidade dessa distribuição é dada por:
f(x) = lambda e^-lambda x
O que precisamos descobrir é a probabilidade de que o tempo médio entre 50 pedidos seja maior que 5,5 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição exponencial e à média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição exponencial. Sabemos que a média ( mu) de uma distribuição exponencial é dada por:
mu = 1lambda
E a variância ( sigma^2) é:
sigma^2 = 1lambda^2
Como a média é 5 horas, podemos encontrar lambda:
5 = 1lambda implies lambda = 15

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média de 50 pedidos seja maior que 5,5 horas. Vamos chamar essa média de barX. Para uma amostra grande, podemos usar o Teorema Central do Limite, que nos permite aproximar a distribuição da média amostral por uma distribuição normal.
A média da média amostral ( mubarX) é igual à média da população, que já sabemos ser 5 horas. A variância da média amostral ( sigmabarX^2) é dada por:
sigmabarX^2 = sigma^2n = 1lambda^250 = 2550 = 0,5
Portanto, o desvio padrão da média amostral é:
sigmabarX = raiz0,5 approx 0,7071

Passo 4

Agora, queremos encontrar:
P(barX > 5,5)
Para isso, vamos calcular o valor de z correspondente usando a fórmula:
z = barX - mubarXsigmabarX
Substituindo os valores:
z = 5,5 - 50,7071 approx 0,50,7071 approx 0,7071

Passo 5

Com o valor de z approx 0,7071, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá P(Z < z), então queremos:
P(Z > 0,7071) = 1 - P(Z < 0,7071)
Consultando a tabela, encontramos que:
P(Z < 0,7071) approx 0,76
Então:
P(Z > 0,7071) = 1 - 0,76 = 0,24

Resposta

A probabilidade de que o tempo médio entre 50 pedidos seja maior que 5,5 horas é de aproximadamente 24%.

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