1. Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina falhar num dado espaço de tempo é 0,1. Seja X a variável aleatória discreta que representa o número de máquinas que no final deste período estarão a trabalhar. Determine:
    a) A função de probabilidade de X .
    b) A função de distribuição acumulada de X e o gráfico da função de distribuição acumulada.
    c) O valor esperado e a variância de X .
Resp: 4) a)
X 0 1 2 3
lcccc X & 0 & 1 & 2 & 3 $P(X=x)$ & 0,001 & 0,027 & 0,243 & 0,729 0,001 0,027 0,243 0,729
c) E(X)=2,7 Var(X)=0,27

Passo 1

O enunciado diz que há três máquinas independentes com probabilidade de falha ,0,1. Se uma máquina não falha, ela está a trabalhar, com probabilidade ,0,9. Definimos Xsim Binomial(n=3,p=0,9). Vamos usar a fórmula da função de probabilidade binomial, depois obter a função de distribuição acumulada e por fim calcular esperança e variância.

Passo 2

A função de probabilidade de X é
P(X=k) ;=; binom3k,(0,9)^k,(0,1)^3-k, k=0,1,2,3
Calculando cada valor:
P(X=0) = (0,1)^3 = 0,001,
P(X=1) = 3cdot(0,9),(0,1)^2 = 3cdot0,9cdot0,01 = 0,027,
P(X=2) = 3cdot(0,9)^2,(0,1) = 3cdot0,81cdot0,1 = 0,243,
P(X=3) = (0,9)^3 = 0,729

Passo 3

A função de distribuição acumulada
O gráfico de para , salta para em , depois para em , para em e finalmente para em . Entre esses pontos, permanece constante.

Passo 4

Para XsimBinomial(3,0,9) vale
E(X)=n,p=3cdot0,9=2,7,
Var(X)=n,p,(1-p)=3cdot0,9cdot0,1=0,27

Resposta

a) A função de probabilidade é
c|cccc k & 0 & 1 & 2 & 3hline P(X=k) & 0,001 & 0,027 & 0,243 & 0,729
b) A função de distribuição acumulada é
F(x)= 0, & x<0, 0,001, & 0 <= x<1, 0,028, & 1 <= x<2, 0,271, & 2 <= x<3, 1, & x>=3
Gráfico: escalonada com saltos de tamanho 0,001, 0,027, 0,243 e 0,729 nos pontos 0,1,2,3.
c) E(X)=2,7 e Var(X)=0,27.

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