Suponha que 30 % dos estudantes de uma escola sejam homens. Colhemos uma amostra de tamanho 10 dentre os estudantes e calculamos a proporção de homens. Qual a probabilidade de que a proporção da amostra difira da proporção populacional em menos de 1 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado conta que 30% dos estudantes da escola são homens. Tiramos uma amostra de 10 estudantes e queremos saber a probabilidade de que a proporção de homens na amostra seja diferente da proporção geral em menos de 1%. Ou seja, queremos calcular a chance de a proporção na amostra estar entre 29% e 31%. Para resolver isso, vamos trabalhar com probabilidade binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois resultados possíveis (neste caso, homem ou mulher).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a proporção populacional é de 30%, ou seja, a probabilidade de selecionar um homem é $ p = 0,3 $. Como estamos tirando uma amostra de tamanho $ n = 10 $, queremos encontrar a probabilidade de que o número de homens na amostra seja tal que a proporção $ \hat{p} $ esteja entre 29% e 31%.

Passo 3

Vamos traduzir essa diferença de 1% em números de pessoas na amostra. Com uma amostra de 10, 1% de 10 é 0,1. Então, queremos que a proporção $ \hat{p} $ esteja entre $ 0,3 - 0,01 = 0,29 $ e $ 0,3 + 0,01 = 0,31 $.

Passo 4

Agora, como estamos trabalhando com números inteiros de pessoas, vamos ver quais valores de $ k $ (número de homens na amostra) satisfazem $ \hat{p} = \frac{k}{10} $ estar entre 0,29 e 0,31. Fazendo as contas:
k
Como $ k $ tem que ser um número inteiro, o único valor que satisfaz essa condição é $ k = 3 $.

Passo 5

Então, precisamos calcular a probabilidade de exatamente 3 homens na amostra de 10. Usamos a fórmula da probabilidade binomial:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Substituindo os valores:
P(3) = binom103 (0,3)^3 (0,7)^7

Passo 6

Calculando os valores:
binom103 = 120
(0,3)^3 = 0,027
(0,7)^7 approx 0,0823543
Multiplicando tudo:
120 times 0,027 times 0,0823543 approx 0,2668

Resposta

A probabilidade de que a proporção da amostra difira da proporção populacional em menos de 1% é aproximadamente 26,68%.

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