Encontre as funçōes derivadas das seguintes funçōes, e depois calcule a inclinaçāo da reta tangente à curva no ponto dado.
f(x)=3 x^3, x0=2

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a derivada da função f(x)=3x^3 e depois calcular a inclinação da reta tangente no ponto x0=2. Isso envolve o conteúdo de derivadas de funções polinomiais e a interpretação da derivada como inclinação de reta.

Passo 2

Pra resolver, vamos usar a regra do poder. Ela diz que, pra uma função x^n, a derivada é n x^n-1. Como nossa função é um polinômio, é só multiplicar o expoente pelo coeficiente e diminuir 1 no expoente.

Passo 3

Primeiro, escrevemos a função:
f(x) = 3x^3
Aplique a regra do poder: derivada de x^3 é 3x^2. Então:
f'(x) = 3 cdot 3x^2 = 9x^2
Aqui a gente multiplicou o coeficiente 3 pelo resultado da derivada de x^3.

Passo 4

Agora, pra achar a inclinação da reta tangente no ponto x0=2, avaliamos a derivada nesse ponto:
f'(2) = 9 cdot 2^2 = 9 cdot 4 = 36
Então a inclinação da reta tangente na posição x=2 é 36.

Resposta

A derivada é f'(x) = 9x^2 e a inclinação da reta tangente em x0=2 é 36.

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