Suponha que 3 bolas sejam sorteadas sem reposição de uma urna consistindo em 5 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. Suponha que as bolas brancas sejam numeradas e considere
,
se a i-ésima bola branca for selecionada, e O caso contrário. Determine a função de probabilidade conjunta de
(a) Y1, Y2;
(b)
(a) Y1, Y2;
(b)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma urna com for sorteada},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
Queremos a função de probabilidade conjunta de
e de
. Vamos usar contagem de casos no modelo hipergeométrico: o número total de escolhas de
bolas de
é
Passo 2
Considere um conjunto de
bolas brancas “especiais” (por exemplo, as bolas
,
e opcionalmente
). Se queremos que exatamente
dessas
bolas apareçam no sorteio de
bolas, então escolhemos essas
de forma fixa e precisamos tirar as outras
bolas do restante das
bolas não-especiais. O número de conjuntos favoráveis é
logo
Passo 3
(a) Para
temos
bolas especiais e
outras bolas. Se
, então
e vale
se
.
Passo 4
Calculando cada caso de
:
Passo 5
(b) Para
temos
bolas especiais e
outras bolas. Se
, então
e
se
.
Resposta
(a) Para
com
:
Em particular
(b) Para
com
:
e
se
.