Suponha que 3 bolas sejam sorteadas sem reposição de uma urna consistindo em 5 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. Suponha que as bolas brancas sejam numeradas e considere Y, =1 se a i-ésima bola branca for selecionada, e O caso contrário. Determine a função de probabilidade conjunta de
(a) Y1, Y2;
(b) Y 1, Y 2, Y 5

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com for sorteada},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
Queremos a função de probabilidade conjunta de e de . Vamos usar contagem de casos no modelo hipergeométrico: o número total de escolhas de bolas de é

Passo 2

Considere um conjunto de m bolas brancas “especiais” (por exemplo, as bolas 1, 2 e opcionalmente 5). Se queremos que exatamente s dessas m bolas apareçam no sorteio de 3 bolas, então escolhemos essas s de forma fixa e precisamos tirar as outras 3-s bolas do restante das 13-m bolas não-especiais. O número de conjuntos favoráveis é
binom13-m,3-s,,
logo
P(exatamente s das m especiais) = binom13-m,3-s,binom133

Passo 3

(a) Para (Y1,Y2) temos m=2 bolas especiais e 13-m=11 outras bolas. Se y1+y2=s, então
P(Y1=y1,;Y2=y2) = binom11,3-s,binom133, s=y1+y2<=3,
e vale 0 se s>3.

Passo 4

Calculando cada caso de (Y1,Y2):
P(1,1)&:;s=2;Longrightarrow;binom111286=11286, P(1,0)&:;s=1;Longrightarrow;binom112286=55286, P(0,1)&:;s=1;Longrightarrow;binom112286=55286, P(0,0)&:;s=0;Longrightarrow;binom113286=165286

Passo 5

(b) Para (Y1,Y2,Y5) temos m=3 bolas especiais e 13-m=10 outras bolas. Se y1+y2+y5=s, então
P(Y1=y1,;Y2=y2,;Y5=y5) = binom10,3-s,binom133, s=y1+y2+y5<=3,
e 0 se s>3.

Resposta

(a) Para y1,y2in0,1 com s=y1+y2:
P(Y1=y1,Y2=y2) = binom11,3-s,286
Em particular
P(1,1)=11286,; P(1,0)=55286,; P(0,1)=55286,; P(0,0)=165286
(b) Para y1,y2,y5in0,1 com s=y1+y2+y5:
P(Y1=y1,Y2=y2,Y5=y5) = binom10,3-s,286, s<=3,
e 0 se s>3.

Exercícios relacionados