Marque a alternativa que revela corretamente as frações parciais da função abaixo:
Tempo rest
P(x)=4 x^2-28 x-16x^3-2 x^2-8 x
a. 4 x^2-28 x-16x^3-2 x^2-8 x=A1x+A2x-4+A3x+2=2x-8(x+4)+143(x-2)
b. 4 x^2-28 x-16x^3-2 x^2-8 x=A1x+A2x-4+A3x+2=2x+143(x-4)+83(x+2)
c. 4 x^2-28 x-16x^3-2 x^2-8 x=A1x+A2x-4+A3x+2=2x-83(x-4)+143(x+2)
d. 4 x^2-28 x-16x^3-2 x^2-8 x=A1x+A2x-4+A3x+2=83(x-4)+143(x+2)
e. 4 x^2-28 x-16x^3-2 x^2-8 x=A1x+A2x-4+A3x+2=2x-83(x-4)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
P(x)=4x^2-28x-16x^3-2x^2-8x
ou seja, escrever
P(x)=A1x+A2x-4+A3x+2
Vamos precisar fatorar o denominador e igualar coeficientes de potências de x.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3-2x^2-8x = x,(x^2-2x-8)=x,(x-4),(x+2)

Passo 3

Escrevendo a soma das frações num único denominador, temos
A1x+A2x-4+A3x+2 =A1(x-4)(x+2)+A2,x(x+2)+A3,x(x-4)x,(x-4),(x+2)
Igualando numeradores:
4x^2-28x-16 = A1(x^2-2x-8)+A2(x^2+2x)+A3(x^2-4x)

Passo 4

Expandindo e organizando em potências de x:
4x^2-28x-16 =(A1+A2+A3)x^2 +(-2A1+2A2-4A3)x +(-8A1)
Do termo constante obtemos
-8A1=-16 Longrightarrow A1=2

Passo 5

Dos coeficientes de
Substituindo e .

Passo 6

Substituindo os valores, a decomposição fica
P(x)=2x-8/3x-4+14/3x+2 =2x-83(x-4)+143(x+2)

Resposta

c) P(x)=2x-83(x-4)+143(x+2)

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