Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo de ocorrência de algum defeito nos televisores tem distribuição normal, sendo que o tipo A com média 10 meses e desvio padrão de 2 meses e, no tipo B , com média de 13 meses e desvio padrão 3 meses. Os televisores do tipo A e B são produzidos com lucro de 1000 u.m. e 2000 u.m., respectivamente e caso haja restituição com prejuízo de 3000 u.m. e 8000 u.m., respectivamente:
(a) Qual é a probabilidade de que o tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores de luxo seja maior aos dos televisores comuns?
(b) Calcule o lucro médio para os televisores A e B.
(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve dois tipos de televisores cujo tempo até defeito grave segue distribuições normais independentes: \r
,XAsim N(10,2^2) para o tipo A e ,XBsim N(13,3^2) para o tipo B. \r
O lucro por aparelho sem defeito é gA=1000 u.m. e gB=2000 u.m., e o prejuízo em caso de devolução é ellA=3000 u.m. e ellB=8000 u.m. \r
Precisamos de: \r
  1. ;P(XB>XA). \r
  2. O lucro médio de cada tipo. \r
  3. Comparar esses lucros médios para decidir qual modelo incentivar.

Passo 2

Calculemos ;P(XB>XA). Seja ;Y=XB - XA. Então \r
muY = muB - muA = 13 - 10 = 3,
sigmaY = raizsigmaA^2 + sigmaB^2 = raiz2^2 + 3^2 = raiz13\r
Logo \r
P(XB>XA) = P(Y>0) = 1 - Phi!l(0 - 3raiz13r) = Phi!l(3raiz13r) approx 0,797

Passo 3

O lucro médio de cada tipo iinA,B é \r
E[lucroi] = P(Xi>6),gi ;+; P(Xi<=6),(-elli) \r
Para o tipo A: \r
P(XA<=6) = Phi!l(6 - 102r) = Phi(-2) = 0,0228,
E[lucroA] = (1 - 0,0228),1000 ;+; 0,0228,(-3000) = 908,8 um \r
Para o tipo B: \r
P(XB<=6) = Phi!l(6 - 133r) = Phi(-7/3) approx 0,0098,
E[lucroB] = (1 - 0,0098),2000 ;+; 0,0098,(-8000) = 1902,0 um

Passo 4

Comparando
,E[lucroA]approx908,8 u.m. e
,E[lucroB]approx1902,0 u.m.,
vemos que o tipo B gera maior lucro médio. Portanto, a empresa deveria incentivar a venda do modelo B.

Resposta

(a) approx0,797 \r
(b) E[lucroA]approx908,8 u.m. e E[lucroB]approx1902,0 u.m. \r
(c) Incentivar o tipo B, pois seu lucro médio é maior.

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