Uma mistura de três combustíveis é descrita por
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=100 \\\\ 2 x+3 y+z=240 \\\ x+4 y+5 z=430 \end{array}\right.
Resolva o sistema e interprete a solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear 3\times 3 que relaciona as quantidades x,y,z (em unidades de volume, por exemplo) de três combustíveis numa mistura total de 100. Para resolver, vamos usar o método de substituição (eliminar variáveis passo a passo).

Passo 2

Da primeira equação
x + y + z = 100
isolamos z:
z = 100 - x - y.

Passo 3

Substituindo esse z na segunda equação
2x + 3y + z = 240
temos
2x + 3y + \bigl(100 - x - y\bigr) = 240
x + 2y + 100 = 240
x + 2y = 140
x = 140 - 2y.

Passo 4

Agora expressamos z em função de y usando x = 140 - 2y em z = 100 - x - y:
z = 100 - (140 - 2y) - y = -40 + y.

Passo 5

Substituímos x e z na terceira equação
x + 4y + 5z = 430
(140 - 2y) + 4y + 5(-40 + y) = 430
140 - 2y + 4y -200 + 5y = 430
7y - 60 = 430
7y = 490
y = 70.

Passo 6

Com y = 70:
x = 140 - 2\cdot 70 = 0,
z = -40 + 70 = 30.

Resposta

A solução do sistema é
x = 0,\quad y = 70,\quad z = 30.
Interpretação: na mistura de 100 unidades, usa-se 0 do combustível 1, 70 do combustível 2 e 30 do combustível 3.

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