Mostre, com exemplos de sistemas quadrados, que:
(i) pode haver infinitas soluções. Indique os respectivos postos e justifique.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de sistemas lineares quadrados que admitam infinitas soluções. O conteúdo envolvido é o critério de Rouché–Capelli: um sistema A x = b tem infinitas soluções exatamente quando
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n,
sendo n a ordem do sistema. Vamos mostrar dois exemplos, um de ordem 2 e outro de ordem 3.

Passo 2

Exemplo de ordem 2: considere o sistema
\begin{cases} x + y = 2,\\\\ 2x + 2y = 4. \end{cases}
Aqui
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}.
As linhas de A são proporcionais \text{2ª linha}=2\cdot\text{1ª linha}ªª, então
\mathrm{rank}(A)=1.
No ampliado
[A\mid b] =\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\\ 2 & 2 & 4\end{pmatrix}
também a segunda linha é o dobro da primeira, logo
\mathrm{rank}([A\mid b])=1.
Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=1<2, há infinitas soluções.

Passo 3

Exemplo de ordem 3: considere
\begin{cases} x + y + z = 3,\\\ x - y + z = 1,\\\\ 2x + 2y + 2z = 6. \end{cases}
Temos
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 6\end{pmatrix}.
Note que a 3ª linha de A é 2 vezes a 1ª, mas as linhas 1ª e 2ª são independentes, então
\mathrm{rank}(A)=2.
No ampliado
[A\mid b] =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2 & 6 \end{pmatrix},
a 3ª linha também é 2 vezes a 1ª, de modo que
\mathrm{rank}([A\mid b])=2.
Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=2<3, o sistema tem infinitas soluções.

Passo 4

Em ambos os casos vimos que
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n,
o que pelo teorema de Rouché–Capelli implica existir um espaço de soluções de dimensão n-\mathrm{rank}(A)>0, ou seja, infinitas soluções.

Resposta

Os exemplos mostram que, quando
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n,
um sistema quadrado de ordem n tem infinitas soluções. Nos casos dados, obtivemos \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=1<2 e \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=2<3.

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