Mostre, com exemplos de sistemas quadrados, que:
(i) pode haver infinitas soluções. Indique os respectivos postos e justifique.
Passo 1
O enunciado pede exemplos de sistemas lineares quadrados que admitam infinitas soluções. O conteúdo envolvido é o critério de Rouché–Capelli: um sistema A x = b tem infinitas soluções exatamente quando
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n,
sendo n a ordem do sistema. Vamos mostrar dois exemplos, um de ordem 2 e outro de ordem 3.
Passo 2
Exemplo de ordem 2: considere o sistema
\begin{cases} x + y = 2,\\\\ 2x + 2y = 4. \end{cases}
Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=2<3, o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Em ambos os casos vimos que
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n,
o que pelo teorema de Rouché–Capelli implica existir um espaço de soluções de dimensão n-\mathrm{rank}(A)>0, ou seja, infinitas soluções.
Resposta
Os exemplos mostram que, quando
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n,
um sistema quadrado de ordem n tem infinitas soluções. Nos casos dados, obtivemos \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=1<2 e \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=2<3.