1. (5.0 pontos) Seja a oferta de mercado de uma utiledule data por:
S=-18+2 P^{2}
\operatorname{com} P \leq 200 (rais).
(i) A partir de que preço haverá oferta?
(ii) Qual o valor da oferta para P=200 reais?
(iii) A que preco a oferta será de 80 unidades?
(iv) A partir de que preço a oferta será maior que 150 unidades?
(v) A partir de que preco a oferta será menor que 200 unidades?
(vi) A que preços a oferta ficará entre 100 e 200 unidades?

Passo 1

O enunciado nos dá a função oferta de mercado
S = -18 + 2P^{2},
com P\le200. Precisamos:
(i) determinar de que preço em diante temos oferta não-negativa,
(ii) calcular S em P=200,
(iii) achar P tal que S=80,
(iv) achar o preço a partir do qual S>150,
(v) achar o preço a partir do qual S<200,
(vi) encontrar os preços que deixam S entre 100 e 200 unidades.

Passo 2

Para saber a partir de que preço há oferta, exigimos S\ge0:
-18 + 2P^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2P^{2} \ge 18 \quad\Longrightarrow\quad P^{2} \ge 9 \quad\Longrightarrow\quad P \ge 3
(Descartamos a raiz negativa porque preço é não-negativo.)

Passo 3

Para P=200 avaliamos diretamente
S = -18 + 2\cdot(200)^{2} = -18 + 2\cdot 40000 = -18 + 80000 = 79982.

Passo 4

Queremos S=80, ou seja
-18 + 2P^{2} = 80 \quad\Longrightarrow\quad 2P^{2} = 98 \quad\Longrightarrow\quad P^{2} = 49 \quad\Longrightarrow\quad P = 7
(novamente preço positivo).

Passo 5

Para S>150 montamos a desigualdade
-18 + 2P^{2} > 150 \quad\Longrightarrow\quad 2P^{2} > 168 \quad\Longrightarrow\quad P^{2} > 84 \quad\Longrightarrow\quad P > \sqrt{84} \approx 9{,}165.

Passo 6

Para S<200 fazemos
-18 + 2P^{2} < 200 \quad\Longrightarrow\quad 2P^{2} < 218 \quad\Longrightarrow\quad P^{2} < 109 \quad\Longrightarrow\quad P < \sqrt{109} \approx 10{,}440.

Passo 7

Para 100 \le S \le 200 unimos duas condições:
S\ge100 e S\le200. Primeiro
-18 + 2P^{2} \ge 100 \quad\Longrightarrow\quad 2P^{2} \ge 118 \quad\Longrightarrow\quad P^{2} \ge 59 \quad\Longrightarrow\quad P \ge \sqrt{59} \approx 7{,}681.
Depois já temos de S\le200 que P\le\sqrt{109}\approx10{,}440.
Logo
7{,}681 \le P \le 10{,}440.

Resposta

(i) P \ge 3.
(ii) S(200)=79982.
(iii) P=7.
(iv) P>\sqrt{84}\approx9{,}165.
(v) P<\sqrt{109}\approx10{,}440.
(vi) \sqrt{59}\approx7{,}681\le P\le\sqrt{109}\approx10{,}440.

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