Uma empresa produziu, num certo ano, 6000 unidades de determinado produto. Projetando-se um aumento anual de produção de
, qual a lei que dá a produção dessa empresa em função do tempo (em anos)? Daqui a quatro anos de quanto será a produção anual?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informação: a produção inicial, no ano zero, foi
unidades. - Informação: projeta-se um aumento anual de
. - Pergunta 1: qual a lei que dá a produção da empresa em função do tempo (em anos)?
- Pergunta 2: qual será a produção anual daqui a quatro anos?
Passo 2
Entender o que significa "aumento anual de
".
- Um aumento de
sobre um valor significa que a cada ano o novo valor é o valor anterior mais metade desse valor anterior. - Em forma de fator multiplicativo, isso é
. Vou escrever isso em notação matemática: o fator de crescimento anual é .
Assim, se a produção num certo ano é, no ano seguinte será .
Passo 3
Construir a lei em função do tempo passo a passo, pensando ano a ano. Defino:
-
= produção no ano inicial = . -
= produção após 1 ano = . -
= produção após 2 anos = .
Percebe o padrão? A cada ano multiplica-se por mais um fator
. Por indução (ou repetição do raciocínio) obtemos a fórmula geral para
anos inteiros:
Aqui:
-
é a produção anual no instante (em anos), -
é a produção inicial, -
é o fator de crescimento anual (correspondente a ), -
é o número de anos decorridos.
Passo 4
Substituir o valor inicial na fórmula geral para escrever a lei pedida:
Passo 5
Calcular a produção daqui a quatro anos, ou seja
. Usamos a fórmula e calculamos passo a passo:
Agora:
Calculo a multiplicação de forma direta:
Portanto, daqui a quatro anos a produção anual será
unidades.
Passo 6
Interpretação final e pequenas observações que ajudam na prova:
- A lei
é uma progressão geométrica em com razão . Para calcular para qualquer número inteiro de anos basta elevar à potência e multiplicar por . - Se for preciso aproximar para porcentagem ou para outros tempos (por exemplo meio ano) o procedimento muda (usar potências fracionárias), mas para anos inteiros o que fiz aqui é o correto e simples.