Uma empresa produziu, num certo ano, 6000 unidades de determinado produto. Projetando-se um aumento anual de produção de 50 \%, qual a lei que dá a produção dessa empresa em função do tempo (em anos)? Daqui a quatro anos de quanto será a produção anual?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação: a produção inicial, no ano zero, foi 6000 unidades.
  • Informação: projeta-se um aumento anual de 50\%.
  • Pergunta 1: qual a lei que dá a produção da empresa em função do tempo (em anos)?
  • Pergunta 2: qual será a produção anual daqui a quatro anos?

Passo 2

Entender o que significa "aumento anual de 50\%".
  • Um aumento de 50\% sobre um valor significa que a cada ano o novo valor é o valor anterior mais metade desse valor anterior.
  • Em forma de fator multiplicativo, isso é 1+0,5=1,5. Vou escrever isso em notação matemática: o fator de crescimento anual é 1,5.
    Assim, se a produção num certo ano é P, no ano seguinte será 1,5\cdot P.

Passo 3

Construir a lei em função do tempo passo a passo, pensando ano a ano. Defino:
  • P(0) = produção no ano inicial = 6000.
  • P(1) = produção após 1 ano = 1,5\cdot P(0).
  • P(2) = produção após 2 anos = 1,5\cdot P(1) = 1,5\cdot(1,5\cdot P(0)) = (1,5)^2\cdot P(0).
Percebe o padrão? A cada ano multiplica-se por mais um fator 1,5. Por indução (ou repetição do raciocínio) obtemos a fórmula geral para t anos inteiros:
P(t)=P(0)\cdot(1,5)^{t}.
Aqui:
  • P(t) é a produção anual no instante t (em anos),
  • P(0)=6000 é a produção inicial,
  • 1,5 é o fator de crescimento anual (correspondente a 1+0,5),
  • t é o número de anos decorridos.

Passo 4

Substituir o valor inicial na fórmula geral para escrever a lei pedida:
P(t)=6000\cdot(1,5)^{t}.

Passo 5

Calcular a produção daqui a quatro anos, ou seja P(4). Usamos a fórmula e calculamos passo a passo:
(1,5)^2=1,5\cdot1,5=2,25.
(1,5)^4=\bigl((1,5)^2\bigr)^2=(2,25)^2=2,25\cdot2,25=5,0625.
Agora:
P(4)=6000\cdot(1,5)^4=6000\cdot5,0625.
Calculo a multiplicação de forma direta:
6000\cdot5,0625=30375.
Portanto, daqui a quatro anos a produção anual será 30375 unidades.

Passo 6

Interpretação final e pequenas observações que ajudam na prova:
  • A lei P(t)=6000\cdot(1,5)^{t} é uma progressão geométrica em t com razão 1,5. Para calcular para qualquer número inteiro de anos basta elevar 1,5 à potência t e multiplicar por 6000.
  • Se for preciso aproximar para porcentagem ou para outros tempos (por exemplo meio ano) o procedimento muda (usar potências fracionárias), mas para anos inteiros o que fiz aqui é o correto e simples.

Resposta

P(t)=6000\cdot(1,5)^{t}
P(4)=30375

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